Во сколько раз изменится площадь боковой поверхности конуса вращения при увеличении его высоты в 9 раз и уменьшении

Содержание: Изменение площади боковой поверхности конуса вращения

Объяснение:
Для понимания задачи, давайте вспомним формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле S = π * r * l, где S - площадь, π - число пи (примерно равно 3.14), r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

В данной задаче говорится о изменении высоты и диаметра основания конуса. Мы можем использовать следующие связи:
- Высота в 9 раз увеличивается. Обозначим исходную высоту конуса как h. Тогда новая высота будет 9h.
- Диаметр основания в 3 раза уменьшается. Обозначим исходный диаметр как d. Новый диаметр будет d/3.

Теперь, чтобы найти изменение площади боковой поверхности, будем использовать формулу и подставлять новые значения. После этого найдем отношение новой площади к исходной, чтобы узнать, во сколько раз она изменится.

Дополнительный материал:
Конус имеет исходную высоту 5 см и диаметр основания 10 см. Во сколько раз изменится площадь боковой поверхности конуса при увеличении высоты в 9 раз и уменьшении диаметра основания в 3 раза?

Решение:
Исходные данные:
h = 5 см
d = 10 см

Новые значения:
Новая высота = 9 * h = 9 * 5 = 45 см
Новый диаметр = d / 3 = 10 / 3 ≈ 3.33 см

Подставим новые значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_новая = π * (d / 3) * l_новая

Для нахождения l_новая, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, образующей и половиной высоты:
l_новая = √(d/2)² + h_новая²

Подставим значения и вычислим:
l_новая = √(3.33/2)² + 45²
≈ √(1.665)² + 2025
≈ √2.77 + 2025
≈ 45.405

Теперь подставим l_новую в формулу площади боковой поверхности:
S_новая = 3.14 * (3.33/3) * 45.405
≈ 3.14 * 1.11 * 45.405
≈ 157.992 см²

Таким образом, новая площадь боковой поверхности конуса составляет примерно 157.992 см². Чтобы узнать, во сколько раз она изменилась, найдем отношение новой площади к исходной:
Отношение = S_новая / S_исходная
= 157.992 / S_исходная

Следует отметить, что исходная площадь боковой поверхности не указана в задаче. Если вы предоставите исходное значение, я смогу вычислить отношение для вас.

Совет:
Чтобы лучше понять, как изменения высоты и диаметра влияют на площадь боковой поверхности конуса, рекомендуется провести несколько пробных расчетов с различными значениями. Это поможет вам улучшить понимание формулы и визуализировать связь между различными параметрами конуса.

Проверочное упражнение:
Предположим, что исходная высота конуса составляет 8 см, а диаметр основания - 12 см. Во сколько раз изменится площадь боковой поверхности конуса при увеличении высоты в 5 раз и уменьшении диаметра основания в 2 раза? Найдите отношение новой площади к исходной.