В треугольнике ABC, заданном координатами вершин A(1;2;3), B(6;-3;3) и C(3;4;5), требуется определить угол при вершине

Треугольник ABC и векторы: Описание

Для решения этой задачи, мы используем понятие вектора и его свойства. Вектор - это направленный отрезок, который имеет определенную длину и направление. Он может быть представлен в виде упорядоченной тройки чисел, где каждое число соответствует координате в пространстве.

1. Найдите координаты вектора AB:

Чтобы найти координаты вектора AB, мы вычитаем координаты точки A из координат точки B. Поэтому:

AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)

В нашем случае:

AB = (6 - 1, -3 - 2, 3 - 3)
AB = (5, -5, 0)

2. Найдите координаты вектора AC:

Аналогично, чтобы найти координаты вектора AC, мы вычитаем координаты точки A из координат точки C:

AC = (xC - xA, yC - yA, zC - zA)
AC = (3 - 1, 4 - 2, 5 - 3)
AC = (2, 2, 2)

3. Найдите длину AB:

Длина вектора AB находится по формуле:

|AB| = √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²)

В нашем случае:

|AB| = √((5)² + (-5)² + (0)²)
|AB| = √(25 + 25 + 0)
|AB| = √50
|AB| = 5√2 (приближенно)

4. Найдите длину АС:

Аналогично, чтобы найти длину вектора AC, мы используем ту же формулу:

|AC| = √((xC - xA)² + (yC - yA)² + (zC - zA)²)

В нашем случае:

|AC| = √((2)² + (2)² + (2)²)
|AC| = √(4 + 4 + 4)
|AC| = √12
|AC| = 2√3 (приближенно)

5. Найдите угол между векторами AB и AC:

Угол между векторами AB и AC можно найти с помощью скалярного произведения векторов и формулы cosθ = (AB · AC) / (|AB| * |AC|).

В нашем случае:

AB · AC = (5 * 2) + (-5 * 2) + (0 * 2) = 10 - 10 + 0 = 0

|AB| * |AC| = (5√2) * (2√3) = 10√6 (приближенно)

cosθ = 0 / (10√6) = 0

Так как cosθ равен 0, угол между векторами AB и AC равен 90 градусов.

Совет: Для понимания и решения задач, связанных с векторами, полезно знать основные формулы и свойства, такие как вычисление длины вектора, нахождение скалярного произведения и использование формулы cosθ для нахождения угла между векторами.

Упражнение: В треугольнике XYZ с вершинами X(-1;2;4), Y(2;0;-1) и Z(-5;3;6), найдите угол между векторами YZ и XZ. Представьте ответ в градусах.