Подобие треугольников в прямоугольной трапеции
В прямоугольной трапеции ABCD с углом BAD, равным 90 градусам, основания AD и BC равны 12 и 8 соответственно, а большая
В прямоугольной трапеции ABCD с углом BAD, равным 90 градусам, основания AD и BC равны 12 и 8 соответственно, а большая диагональ BD равна 20. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. а) докажите, что треугольники BMC и DMA являются подобными. б) найдите площадь треугольника.
24.12.2023 08:04
Написать свой ответ:
Пояснение:
Для доказательства подобия треугольников BMC и DMA в прямоугольной трапеции ABCD, нам необходимо показать, что соответствующие углы треугольников равны, а их стороны пропорциональны.
а) Докажем, что углы BМС и DMA равны:
Так как AB и CD являются основаниями трапеции, то угол BAD будет прямым углом. Значит, углы BMA и DMC тоже будут прямыми, так как они смежные с углом BAD.
Также, угол ACB и угол ADB, являющиеся соответственными углами треугольников BMC и DMA соответственно, также будут равны.
Таким образом, углы BMC и DMA равны.
б) Найдем площадь треугольника BMC:
Треугольники BMC и DMA являются подобными, значит, их соответствующие стороны пропорциональны. Обозначим длину отрезка BM как x и AM как y.
Применим теорему Пифагора для треугольника BDM:
BD² = BM² + DM²
20² = x² + (12-y)²
Используя подобие треугольников, можно записать пропорцию между сторонами треугольников BMC и DMA:
BM/DM = CM/AM
x/(12-y) = (8+CM)/y
Далее, решая систему уравнений, можно найти значения x и y. Зная значения x и y, можно найти площадь треугольника BMC, используя формулу для площади треугольника: S = 1/2 * BM * CM.
Дополнительный материал:
а) Докажите, что треугольники BMC и DMA являются подобными.
б) Найдите площадь треугольника BMC в прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD = 12, BC = 8 и большей диагональю BD = 20.
Совет:
Для решения задачи по подобию треугольников в прямоугольной трапеции, всегда начинайте с доказательства равенства углов и пропорциональности сторон. Затем, используйте полученные соотношения для нахождения нужных значений или величин.
Задание:
В прямоугольной трапеции ABCD с углом BAD, равным 90 градусам, основания AD и BC равны 15 и 9 соответственно, а большая диагональ BD равна 25. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. а) Докажите, что треугольники CBM и DAM являются подобными. б) найдите площадь треугольника CBM.