В прямоугольнике ABCD точка O является точкой пересечения диагоналей, AB=2 и ∠CAD=30°. Найдите скалярное произведение

Тема урока: Векторы и скалярное произведение

Объяснение:
Скалярное произведение векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Представим векторы DC и BC как сумму их компонентов вдоль координатных осей. Для нахождения скалярного произведения найдем сначала вектор DC.

Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, вектор DC можно представить как сумму векторов DO и OC. Так как AB является диагональю прямоугольника ABCD, она делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Зная значение стороны AB, мы можем найти длину отрезка AC с помощью теоремы Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2. Подставим значение стороны AB (2) в уравнение и решим его относительно BC. Таким образом, получим значение стороны BC.

Теперь, имея длины отрезков DC и BC, мы можем найти скалярное произведение векторов DC и BC, используя формулу: DC · BC = |DC| × |BC| × cos(θ), где |DC| и |BC| - длины DC и BC соответственно, и θ - угол между векторами DC и BC. В данном случае, скалярное произведение DC и BC равно |DC| × |BC| × cos(30°).

Например:
Задача: В прямоугольнике ABCD точка O является точкой пересечения диагоналей, AB=2 и ∠CAD=30°. Найдите скалярное произведение векторов DC и BC.

Решение:
Сначала найдем длину отрезка AC, используя теорему Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 2^2 + BC^2
AC^2 = 4 + BC^2

Поскольку AC является диагональю прямоугольника, она равна 2. Значит,
4 + BC^2 = 2^2
4 + BC^2 = 4
BC^2 = 0
BC = 0

Теперь найдем скалярное произведение векторов DC и BC:
DC · BC = |DC| × |BC| × cos(θ)
DC · BC = |DC| × 0 × cos(30°)
DC · BC = 0

Таким образом, скалярное произведение векторов DC и BC равно 0.

Подсказка:
При решении задачи с векторами и скалярным произведением всегда внимательно изучайте данные об углах и сторонах, чтобы определить необходимые длины и углы для решения задачи.

Задача для проверки:
В прямоугольнике ABCD точка O является точкой пересечения диагоналей, AB=3 и ∠CAD=45°. Найдите скалярное произведение векторов DC и BC, а также вектора BC.