Докажите, что прямые, заданные параметрическими уравнениями x=2t-3, y=3t-2, z=-4t+6 и x=t+5, y=-4t-1, z=t-4

Тема: Пересечение прямых заданных параметрическими уравнениями

Объяснение: Чтобы доказать пересечение прямых, заданных параметрическими уравнениями, мы должны найти значения параметров, при которых координаты точек на обеих прямых совпадают. В данном случае у нас есть две прямые, заданные параметрическими уравнениями:

1. Прямая 1: x = 2t - 3, y = 3t - 2, z = -4t + 6
2. Прямая 2: x = t + 5, y = -4t - 1, z = t - 4

Чтобы найти пересечение этих прямых, мы должны решить систему уравнений, состоящую из уравнений для каждой координаты:

2t - 3 = t + 5
3t - 2 = -4t - 1
-4t + 6 = t - 4

Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения параметра t:

2t - 3 - t = 5
3t + 4t = -1 + 2
-5t + 6 = -4

t - 3 = 5
7t = 1
t = 1/7

Подставляя это значение обратно в уравнения прямых, мы получаем координаты пересечения:

x = 2*(1/7) - 3 = 1/7 - 3 = -20/7
y = 3*(1/7) - 2 = 3/7 - 2 = -11/7
z = -4*(1/7) + 6 = -4/7 + 42/7 = 38/7

Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами x = -20/7, y = -11/7, z = 38/7.

Демонстрация:
Доказать, что прямые с параметрическими уравнениями x=2t-3, y=3t-2, z=-4t+6 и x=t+5, y=-4t-1, z=t-4, пересекаются.

Совет: Для лучшего понимания этой темы, рекомендуется внимательно изучить, как решать системы уравнений и уметь работать с параметрическими уравнениями прямых. Также полезно освоить навык графического представления прямых в трехмерном пространстве.

Упражнение:
Даны две прямые, заданные параметрическими уравнениями:
1. x = 2t - 1, y = -3t + 4, z = 5t - 2
2. x = 3t + 2, y = -2t + 3, z = 4t - 1

Найдите точку пересечения этих прямых.