В параллелограмме ABCD на сторонах АВ, BC, CD и AD расположены точки M, N, K и L соответственно. Известно

Тема занятия: Доказательство заданного отношения точкой пересечения векторов

Объяснение: Для доказательства заданного отношения точкой пересечения отрезков MK и NI воспользуемся свойствами параллелограмма и векторными вычислениями.

В параллелограмме ABCD имеем AB || CD и AD || BC. Значит, можем использовать следующие свойства векторов:

1. Разложение векторов по базису: AM = AB + BM, CN = BC + CN, KD = CD + DK, и LA = AD + AL.

2. Пропорциональность векторов: AM:MB = CK:KD = 1:3 и BN:NC = DL:LA = 1:4.

Теперь, чтобы доказать, что точка пересечения отрезков MK и NI делит их в заданном отношении, нам нужно доказать, что вектор MI делит отрезок KN в соответствии с заданным отношением.

Для этого построим векторы MI, NK и NI:

- MI = MN + NI
- NK = NB + BK
- NI = NA + AK

Далее, заменим векторы, используя разложение по базису:

- MI = MA + AM + NA + AK
- NK = NB + BN + NA + AK
- NI = NA + AK

Используя соотношения AM:MB = CK:KD = 1:3 и BN:NC = DL:LA = 1:4, можно заменить каждый из векторов AM, BN, CK и DL их разложением по базису.

Таким образом, мы получим выражения для векторов MI и NK в терминах векторов NA и AK.

Итак, воспользуемся этими выражениями и найдем, как MI делит NK. Если MI делит NK в заданном отношении, то соотношение этих векторов должно быть тоже 1:3.

Практика: Докажите, что точка пересечения отрезков MK и NI делит их в заданном отношении.