В кубе abcda1b1c1d1, на ребрах b1c1 и c1d1, точки n и m отмечены так, что b1n:nc1 = 1:4; c1m:md1 = 1:3. Каков косинус

Тема урока: Геометрия - Косинус угла

Пояснение: Чтобы найти косинус угла α между прямыми bn и cm, мы используем формулу косинуса угла между двумя векторами.

Для начала, нам нужно найти векторы bn и cm. Рассмотрим точки b1 и c1 как начальные точки этих векторов, а точки n и m - конечные.

Координаты вектора bn можно вычислить, вычтя координаты точки b1 из точки n:

bn = (xn - xb1, yn - yb1, zn - zb1)

Аналогично, координаты вектора cm будут:

cm = (xm - xc1, ym - yc1, zm - zc1)

Теперь, чтобы найти косинус угла α между векторами bn и cm, мы используем следующую формулу:

cos(α) = (bn · cm) / (|bn| * |cm|)

где (bn · cm) представляет скалярное произведение векторов bn и cm, а |bn| и |cm| - их длины соответственно.

Теперь, рассчитаем значения и подставим в формулу:

bn = (0 - 1, 4 - 1, 1 - 1) = (-1, 3, 0)

cm = (4 - 1, 3 - 1, 1 - 1) = (3, 2, 0)

|bn| = √((-1)^2 + 3^2 + 0^2) = √(1 + 9 + 0) = √10

|cm| = √(3^2 + 2^2 + 0^2) = √(9 + 4 + 0) = √13

Теперь, рассчитаем скалярное произведение bn · cm:

bn · cm = (-1 * 3) + (3 * 2) + (0 * 0) = -3 + 6 + 0 = 3

Подставим все значения в формулу для косинуса угла α:

cos(α) = 3 / (√10 * √13)

Доп. материал:
Задача: В кубе abcda1b1c1d1, на ребрах b1c1 и c1d1, точки n и m отмечены так, что b1n:nc1 = 1:4; c1m:md1 = 1:3. Каков косинус угла α между прямыми bn и cm, если длина ребра куба равна 5?

Совет: При решении этой задачи важно правильно определить векторы bn и cm и использовать формулу косинуса угла между векторами.

Задача для проверки: Найдите косинус угла α между прямыми bn и cm, если длина ребра куба равна 8.

Геометрия: Косинус угла между прямыми

Пояснение:
Для решения этой задачи, нам потребуется знание геометрии и применение теоремы тригонометрии. Рассмотрим куб abcda1b1c1d1, на котором мы отметили точки n и m на ребрах b1c1 и c1d1 соответственно.

По условию задачи, b1n:nc1 = 1:4, что означает, что отрезок b1n составляет 1/5 от отрезка b1c1 (так как 1/(1+4) = 1/5). Аналогично, c1m:md1 = 1:3, отрезок c1m составляет 1/4 от отрезка c1d1 (так как 1/(1+3) = 1/4).

Теперь рассмотрим прямые bn и cm. Чтобы найти косинус угла α между этими прямыми, нам потребуется знать длины отрезков bn и cm, а также расстояние между их направляющими векторами.

По условию задачи, длина ребра куба равна l. Зная это, мы можем определить длины отрезков bn и cm, как 1/5l и 1/4l соответственно.

Теперь определим направляющие векторы для прямых bn и cm. Направляющий вектор для прямой bn будет равен вектору b1n, а направляющий вектор для прямой cm будет равен вектору c1m.

Теперь мы можем получить косинус угла α между этими прямыми, используя формулу:

косинус α = (вектор b1n * вектор c1m) / (|вектор b1n| * |вектор c1m|),

где (вектор a * вектор b) представляет скалярное произведение векторов a и b, а |вектор a| представляет длину вектора a.

Расчеты по формуле дадут нам искомое значение косинуса угла α между прямыми bn и cm.

Пример:
Длина ребра куба равна l = 10 см. Найдите косинус угла α между прямыми bn и cm.

Совет:
Для лучшего понимания материала, важно понять определение и свойства векторов, а также основы тригонометрии. Если у вас возникнут затруднения, обратитесь к учебнику по геометрии и тренируйтесь на других задачах для закрепления материала.

Закрепляющее упражнение:
В кубе abcda1b1c1d1, на ребрах b1c1 и c1d1, точки n и m отмечены так, что b1n:nc1 = 2:5; c1m:md1 = 1:2. Если длина ребра куба равна 15 см, найдите косинус угла α между прямыми bn и cm.