Геометрия и векторы - квадрат ABCD
Геометрия

В 9 классе изучаются геометрия и векторы. Дан квадрат ABCD. На отрезке BD выбрана точка X, где вектор BX равен

В 9 классе изучаются геометрия и векторы. Дан квадрат ABCD. На отрезке BD выбрана точка X, где вектор BX равен 10 вектора BD, а на отрезке BC выбрана точка Y, где вектор BY равен k вектора BC. Выяснилось, что угол AXY равен 90 градусов. Какое значение имеет k?
Верные ответы (1):
  • Raduzhnyy_Den
    Raduzhnyy_Den
    14
    Показать ответ
    Тема урока: Геометрия и векторы - квадрат ABCD

    Инструкция:
    Дана задача о квадрате ABCD, где на отрезках BD и BC выбраны точки X и Y соответственно. Условие гласит, что вектор BX равен 10 вектору BD, а вектор BY равен k вектору BC. Нам необходимо выяснить значение k.

    Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами геометрии и векторов квадрата. Заметим, что вектор BC и вектор BD являются сторонами квадрата, поэтому они равны по длине и имеют одинаковый направленный угол.

    Мы знаем, что угол AXY равен 90 градусов. Вектор AX перпендикулярен вектору AY, значит, их скалярное произведение равно 0.

    Найдем скалярное произведение векторов AX и AY. Поскольку вектор AX равен вектору AB плюс вектор BX, а вектор AY равен вектору AB плюс вектор BY, скалярное произведение AX и AY можно записать следующим образом:

    (AB + BX) * (AB + BY) = 0

    Подставим известные значения:

    (AB + 10BD) * (AB + kBC) = 0

    Учитывая, что вектор BD и вектор BC равны по длине и имеют одинаковый направленный угол, заменим BD на BC:

    (AB + 10BC) * (AB + kBC) = 0

    Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

    AB * AB + AB * kBC + 10BC * AB + 10BC * kBC = 0

    AB * AB + kAB * BC + 10AB * BC + 10kBC * BC = 0

    AB * AB + (kAB + 10AB) * BC + 10kBC * BC = 0

    Поскольку угол AXY равен 90 градусов, AB и BC взаимно перпендикулярны. Значит, их скалярное произведение равно 0:

    AB * BC = 0

    Таким образом, получаем:

    AB * AB + (kAB + 10AB) * BC + 10kBC * BC = 0

    AB * AB + (kAB + 10AB + 10kBC) * BC = 0

    Поскольку каждое слагаемое должно равняться нулю, имеем:

    AB * AB = 0 (так как AB * BC = 0)

    Таким образом, AB равен нулю. Значит:

    kAB + 10AB + 10kBC = 0

    kAB = -10AB - 10kBC

    kAB = -10(AB + kBC)

    Таким образом, мы получили значение k.

    Пример:
    Задача: В квадрате ABCD на отрезке BD выбрана точка X, где вектор BX равен 10 вектору BD, а на отрезке BC выбрана точка Y, где вектор BY равен k вектору BC. Угол AXY равен 90 градусов. Найдите значение k.

    Совет:
    При решении данной задачи помните, что векторы BC и BD равны по длине и имеют одинаковый направленный угол. Используйте свойства перпендикулярных векторов и скалярное произведение для решения задачи.

    Проверочное упражнение:
    В квадрате ABCD на отрезках BD и BC выбраны точки X и Y соответственно. Известно, что вектор BX равен 8 вектору BD, а вектор BY равен 3 векторам BC. Найдите значение угла AXY.
Написать свой ответ: