Геометрия и векторы - квадрат ABCD
В 9 классе изучаются геометрия и векторы. Дан квадрат ABCD. На отрезке BD выбрана точка X, где вектор BX равен
В 9 классе изучаются геометрия и векторы. Дан квадрат ABCD. На отрезке BD выбрана точка X, где вектор BX равен 10 вектора BD, а на отрезке BC выбрана точка Y, где вектор BY равен k вектора BC. Выяснилось, что угол AXY равен 90 градусов. Какое значение имеет k?
20.12.2023 03:31
Написать свой ответ:
Инструкция:
Дана задача о квадрате ABCD, где на отрезках BD и BC выбраны точки X и Y соответственно. Условие гласит, что вектор BX равен 10 вектору BD, а вектор BY равен k вектору BC. Нам необходимо выяснить значение k.
Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами геометрии и векторов квадрата. Заметим, что вектор BC и вектор BD являются сторонами квадрата, поэтому они равны по длине и имеют одинаковый направленный угол.
Мы знаем, что угол AXY равен 90 градусов. Вектор AX перпендикулярен вектору AY, значит, их скалярное произведение равно 0.
Найдем скалярное произведение векторов AX и AY. Поскольку вектор AX равен вектору AB плюс вектор BX, а вектор AY равен вектору AB плюс вектор BY, скалярное произведение AX и AY можно записать следующим образом:
(AB + BX) * (AB + BY) = 0
Подставим известные значения:
(AB + 10BD) * (AB + kBC) = 0
Учитывая, что вектор BD и вектор BC равны по длине и имеют одинаковый направленный угол, заменим BD на BC:
(AB + 10BC) * (AB + kBC) = 0
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
AB * AB + AB * kBC + 10BC * AB + 10BC * kBC = 0
AB * AB + kAB * BC + 10AB * BC + 10kBC * BC = 0
AB * AB + (kAB + 10AB) * BC + 10kBC * BC = 0
Поскольку угол AXY равен 90 градусов, AB и BC взаимно перпендикулярны. Значит, их скалярное произведение равно 0:
AB * BC = 0
Таким образом, получаем:
AB * AB + (kAB + 10AB) * BC + 10kBC * BC = 0
AB * AB + (kAB + 10AB + 10kBC) * BC = 0
Поскольку каждое слагаемое должно равняться нулю, имеем:
AB * AB = 0 (так как AB * BC = 0)
Таким образом, AB равен нулю. Значит:
kAB + 10AB + 10kBC = 0
kAB = -10AB - 10kBC
kAB = -10(AB + kBC)
Таким образом, мы получили значение k.
Пример:
Задача: В квадрате ABCD на отрезке BD выбрана точка X, где вектор BX равен 10 вектору BD, а на отрезке BC выбрана точка Y, где вектор BY равен k вектору BC. Угол AXY равен 90 градусов. Найдите значение k.
Совет:
При решении данной задачи помните, что векторы BC и BD равны по длине и имеют одинаковый направленный угол. Используйте свойства перпендикулярных векторов и скалярное произведение для решения задачи.
Проверочное упражнение:
В квадрате ABCD на отрезках BD и BC выбраны точки X и Y соответственно. Известно, что вектор BX равен 8 вектору BD, а вектор BY равен 3 векторам BC. Найдите значение угла AXY.