Уравнение окружности: x2+y2=36. Уравнение прямой: x=a. Найдите значения a, при которых... 1. ...прямая и окружность

Уравнение окружности и прямой:
Общее уравнение окружности имеет вид: x^2 + y^2 = r^2, где (x, y) - координаты точки на окружности, а r - радиус.

Уравнение прямой в виде x = a представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через точку (a, 0).

Теперь давайте рассмотрим задачи:

1. При каких значениях a прямая и окружность имеют единственную общую точку?

Для этого необходимо найти точку пересечения между окружностью и прямой. Подставим уравнение прямой x = a в уравнение окружности:
a^2 + y^2 = 36.

Мы можем решить это уравнение и найти значение y:
y^2 = 36 - a^2.

В результате получаем, что y = ±√(36 - a^2).

Если мы хотим, чтобы точка пересечения была единственной, то значит √(36 - a^2) должно быть равно нулю:
36 - a^2 = 0.

Решим это уравнение:
a^2 = 36,
a = ±√36,
a = ±6.

Таким образом, значение a для единственной точки пересечения прямой и окружности равно ±6.

2. При каких значениях a прямая и окружность имеют две общие точки?

В данном случае, нам необходимо найти значения a такие, чтобы уравнение окружности имело два решения для y. Это возможно, когда уравнение окружности x^2 + y^2 = 36 и уравнение прямой x = a имеют общие решения.

Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
a^2 + y^2 = 36.

Распишем это уравнение в виде:
y^2 = 36 - a^2.

Уравнение y^2 = 36 - a^2 имеет два решения, если 36 - a^2 > 0.

Рассмотрим это условие:
36 - a^2 > 0,
a^2 < 36.

Решим это неравенство:
-6 < a < 6.

Таким образом, значения a, при которых прямая и окружность имеют две общие точки, лежат в интервале -6 < a < 6.

3. При каких значениях a прямая и окружность не имеют общих точек?

Пусть прямая и окружность не имеют общих точек. Это означает, что уравнения прямой и окружности не имеют решений.

Подставим уравнение прямой x = a в уравнение окружности:
a^2 + y^2 = 36.

Следовательно, уравнение a^2 + y^2 = 36 не имеет решений, если a^2 > 36 или a^2 < 36.

Решая эти неравенства, получим:
a < -6 или a > 6.

Таким образом, значения a, при которых прямая и окружность не имеют общих точек, лежат вне интервала -6 ≤ a ≤ 6.

Совет: Чтобы лучше понять, как решать подобные задачи, полезно иметь некоторое представление о геометрии плоских фигур, таких как окружность и прямая. Изучите свойства окружности и уравнения прямой в плоскости, чтобы лучше представить себе, как они взаимодействуют друг с другом.

Закрепляющее упражнение: При каких значениях а прямая x = а и окружность x^2 + y^2 = 49 имеют 4 общие точки?