Углом между плоскостями α и β является угол, под которым они пересекаются. Найдите данный угол между α и β плоскостями

Угол между плоскостями:
Разъяснение:
Чтобы найти угол между плоскостями α и β, мы можем использовать нормали к данным плоскостям. Нормаль к плоскости - это перпендикулярный вектор, указывающий в направлении, перпендикулярном плоскости.

Допустим, у нас есть нормальные векторы для плоскостей α и β, обозначенные как n_α и n_β соответственно. Угол между плоскостями α и β определяется как угол между этими двумя векторами.

Мы можем использовать скалярное произведение нормалей плоскостей, чтобы найти угол. Формула выглядит следующим образом:

cos(θ) = (n_α · n_β) / (||n_α|| ||n_β||),

где θ - искомый угол, (n_α · n_β) - скалярное произведение, ||n_α|| и ||n_β|| - длины векторов n_α и n_β соответственно.

Пример:
Нормальный вектор для плоскости α имеет компоненты (2, -1, 3), а для плоскости β - (4, 1, -2). Чтобы найти угол между α и β, сначала найдем скалярное произведение нормалей:

n_α · n_β = 2 * 4 + (-1) * 1 + 3 * (-2) = 8 - 1 - 6 = 1.

Затем найдем длины нормалей:

||n_α|| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14),
||n_β|| = sqrt(4^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(16 + 1 + 4) = sqrt(21).

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла:

cos(θ) = (n_α · n_β) / (||n_α|| ||n_β||) = 1 / (sqrt(14) * sqrt(21)).

Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить этот материал, рекомендуется ознакомиться с понятием нормалей и скалярного произведения векторов в трехмерном пространстве. Изучение геометрии и векторной алгебры поможет вам глубже понять эту тему.

Упражнение:
Даны нормальные векторы для плоскостей α и β: n_α = (2, -3, 1), n_β = (-1, 4, -2). Найдите угол между плоскостями α и β.