Требуется доказать, что угол ABC равняется 90 градусам, где ABC - треугольник со сторонами AB, BC, и AC, ВД - высота

Содержание вопроса: Доказательство прямого угла в треугольнике

Объяснение: Для доказательства, что угол ABC равен 90 градусам, мы можем воспользоваться свойствами треугольника и фактом, что BVK - угол, равный углу ВМК.

Итак, рассмотрим треугольник BAC. У нас есть высота BD, медиана BM и биссектриса BK.

1. Первым шагом докажем, что медиана BM делит сторону AC пополам. Для этого мы можем использовать свойство медианы в треугольнике, которое гласит: медиана делит сторону, на которую опущена, пополам. Таким образом, AM = MC.

2. Теперь рассмотрим треугольник BMA. У нас есть медиана BM и высота BD. Здесь мы можем использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы (BM) равен сумме квадратов катетов (MB и BA). Таким образом, BM^2 = BD^2 + DM^2.

3. Теперь рассмотрим треугольник BDA. У нас есть высота BD и сторона BA. В этом треугольнике мы также можем использовать теорему Пифагора, которая позволяет нам выразить сторону BA через высоту BD и отрезок AD. Таким образом, BA^2 = BD^2 + AD^2.

4. Итак, мы имеем два уравнения: BM^2 = BD^2 + DM^2 и BA^2 = BD^2 + AD^2. Подставим второе уравнение в первое и получим следующее: BM^2 = BA^2 + DM^2 + AD^2.

5. Поскольку DM^2 + AD^2 равно квадрату стороны AC, получаем, что BM^2 = BA^2 + AC^2.

6. Заключительным шагом будет доказательство, что BM^2 + AC^2 = BC^2. Для этого рассмотрим треугольник ABC. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим BC^2 = BA^2 + AC^2.

7. Теперь, объединив уравнения BM^2 = BA^2 + AC^2 и BC^2 = BA^2 + AC^2, мы видим, что BM^2 + AC^2 = BC^2. Это означает, что мы доказали теорему Пифагора для треугольника BMC.

8. По теореме Пифагора, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то это означает, что угол между этими двумя сторонами равен 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что угол ABC равен 90 градусам.

Доп. материал:
Пусть треугольник ABC имеет стороны AB = 5, BC = 12 и AC = 13. Докажите, что угол ABC равен 90 градусам.

Совет: Для успешного доказательства прямого угла в треугольнике, внимательно изучите свойства медиан, высот и биссектрис. Помните, что теорема Пифагора помогает сравнивать квадраты сторон треугольника.

Закрепляющее упражнение: В треугольнике DEF сторона DE = 6, сторона DF = 8 и сторона EF = 10. Докажите, что угол DEF равен 90 градусам.