Требуется доказать, что сумма векторов OA + 2OB + OC равна вектору 4OK для произвольной точки O в плоскости, где

Тема: Векторы в плоскости

Пояснение: Для того чтобы доказать, что сумма векторов OA + 2OB + OC равна вектору 4OK, мы должны пошагово продемонстрировать каждый шаг доказательства.

1. Начнем с треугольника ABC. Поскольку M - середина AB, вектор AM будет равен вектору MB, и вектор BM будет равен вектору MA.
2. Построим векторы OA, OB и OC, начиная из точки O и направленные к точкам A, B и C соответственно.
3. Теперь давайте посмотрим на сумму векторов OA + 2OB + OC. Заметим, что вектор OB входит в сумму два раза, так как у нас есть 2OB. Это происходит потому, что OB дает вклад в сумму векторов OA + OB + OB + OC.
4. Используем свойство ассоциативности сложения векторов: (OA + OB) + OB + OC. Мы можем разбить сумму на две части: (OA + OB) и (OB + OC).
5. Теперь применим свойство коммутативности сложения векторов: (OB + OC) + (OA + OB). Мы поменяли порядок слагаемых.
6. Заметим, что векторы (OB + OC) и (OA + OB) складываются, соответственно, с векторами AB и AC треугольника ABC.
7. Используем свойство параллелограмма: векторная сумма двух сторон параллелограмма равна вектору, соединяющему противоположные вершины этого параллелограмма. В данном случае, (OB + OC) будет равно вектору BC, и (OA + OB) будет равно вектору AC.
8. Таким образом, получаем BC + AC, что равно вектору BA, так как векторы противоположных сторон параллелограмма равны.
9. Вектор BA уже есть вопросе исходной последовательности = OK, а значит сумма векторов OA + 2OB + OC равна вектору 4OK.

Демонстрация: Если точка O имеет координаты (2, 3), A (-1, 2), B (4, -1) и C (3, 6), необходимо проверить, что сумма векторов OA + 2OB + OC равна вектору 4OK.

Совет: При решении задач, связанных с векторами в плоскости, помните о свойствах ассоциативности и коммутативности сложения векторов, а также о свойствах параллелограмма.

Задача на проверку: Доказать, что сумма векторов AB + BC равна вектору AC для произвольного треугольника ABC в плоскости.