С помощью векторных методов, вычислите значение косинуса угла между диагоналями параллелограмма, где длины двух сторон

Тема урока: Вычисление косинуса угла между диагоналями параллелограмма с помощью векторных методов

Инструкция:

Для вычисления косинуса угла между диагоналями параллелограмма, мы можем воспользоваться векторным методом. Векторное произведение двух векторов равно произведению их длин на синус угла между ними:

a x b = |a| * |b| * sin(θ)

где a и b - векторы, |a| и |b| - их длины, а θ - угол между ними.

В данной задаче, диагонали параллелограмма имеют длины 2 и √3, а угол между ними составляет 135°. Обозначим эти векторы как d1 и d2.

Так как параллелограмм имеет две параллельные стороны, вектора d1 и d2 можно представить в виде суммы векторов, соответствующих этим сторонам:

d1 = a + b
d2 = b

Выразим векторы a и b из этих уравнений:

a = d1 - d2
b = d2

Теперь мы можем вычислить значение косинуса угла между диагоналями с помощью выражений для векторов a и b:

cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|)

где (a • b) - скалярное произведение векторов a и b, а |a| и |b| - длины этих векторов.

Подставим значения в выражение:

cos(θ) = ((d1 - d2) • d2) / (|d1 - d2| * |d2|)

Например:
Длины двух сторон параллелограмма: 2 и √3
Угол между ними: 135°

d1 = 2 + √3
d2 = √3

Вычислим значение косинуса угла между диагоналями:

a = d1 - d2 = (2 + √3) - √3 = 2 + √3 - √3 = 2
b = d2 = √3

cos(θ) = ((2) • (√3)) / (|2| * |√3|)
= (2√3) / (2√3)
= 1

Таким образом, значение косинуса угла между диагоналями параллелограмма равно 1.

Совет:
Для лучшего понимания материала по векторным методам, рекомендуется ознакомиться с основными понятиями векторов, их сложением и умножением на число, а также скалярными и векторными произведениями.

Практика:
Дан параллелограмм со сторонами длиной 4 и 5. Найдите косинус угла между его диагоналями с помощью векторных методов.

Тема урока: Косинус угла между диагоналями параллелограмма.

Пояснение: Чтобы вычислить косинус угла между диагоналями параллелограмма, мы можем воспользоваться векторным методом. Для начала, мы должны найти векторы, соответствующие диагоналям параллелограмма.

Пусть A и B - вершины параллелограмма, а С - точка пересечения диагоналей. Длины сторон параллелограмма равны 2 и √3, а угол между ними составляет 135°.

Для нахождения вектора AB, мы можем использовать координаты точек A и B:

AB = B - A

Аналогично, для вектора AC мы используем координаты точек A и C:

AC = C - A

Затем мы можем вычислить косинус угла между векторами AB и AC, используя следующую формулу:

cos(θ) = AB · AC / (|AB| * |AC|)

где · обозначает скалярное произведение векторов, |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.

Вычисляя значения векторов AB и AC и подставляя их в формулу, мы получаем значение косинуса угла между диагоналями параллелограмма.

Пример:
Дано:
Длина сторон параллелограмма: AB = 2, BD = √3
Угол между сторонами: ABC = 135°

AB = [2, 0]
BD = [√3, √3]

AC = [AB] + [BD]
AC = [2, 0] + [√3, √3]
AC = [2+√3, √3]

|AB| = √(2^2+0^2) = √4 = 2
|AC| = √((2+√3)^2+√3^2) = √(4+4√3+3+3) = √(10+4√3)

AB · AC = (2* (2+√3)) + (0 * √3) = 4 + 2√3
cos(θ) = (4 + 2√3) / (2 * √(10+4√3))

Вычисляя это выражение, мы получаем значение косинуса угла между диагоналями параллелограмма.

Совет:
Если вам сложно представить себе геометрическую ситуацию, нарисуйте параллелограмм и обозначьте векторы AB, BD и AC. Затем можно использовать координаты вершин параллелограмма и формулу для нахождения косинуса угла.

Упражнение:
Дан параллелограмм ABCD, где стороны AB и BC имеют длины 3 и 4 соответственно, а угол ABC между ними равен 60°. Вычислите значение косинуса угла между диагоналями параллелограмма.