При каком соотношении высоты к радиусу цилиндра боковая поверхность цилиндра станет квадратной на развертке?

Тема урока: Поверхность цилиндра на развертке

Инструкция: Разверткой цилиндра называется двумерное изображение его боковой поверхности, полученное путем разрезания и разложения этой поверхности на плоскость. Чтобы боковая поверхность цилиндра на развертке стала квадратной, необходимо, чтобы ее площадь равнялась площади квадрата со стороной, равной периметру базы цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: Sб = 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Площадь квадрата со стороной с, равной периметру базы цилиндра, вычисляется по формуле: Sк = c^2.

Для того чтобы боковая поверхность цилиндра стала квадратной на развертке, должно выполняться условие: 2πrh = c^2.

Подставляя значение периметра базы цилиндра (2πr), получим соотношение высоты к радиусу, при котором это условие выполняется: h/r = c/(2π).

Дополнительный материал:

Задан цилиндр с радиусом r=3 см. При какой высоте h боковая поверхность цилиндра станет квадратной на развертке?

Решение:

Площадь квадрата со стороной, равной периметру цилиндра, равна Sк = (2πr)^2 = (2π * 3)^2 = 36π^2.

Соотношение высоты к радиусу цилиндра: h/r = Sк / (2πr) = (36π^2) / (2π * 3) = 6π.

Таким образом, при высоте цилиндра h = 6π * r.

Совет: Чтобы лучше понять, как происходит развертка цилиндра, можно взять бумажный стакан или ванную трубу и разрезать их вдоль, чтобы получить плоское изображение цилиндрической поверхности.

Практика: Задан цилиндр с радиусом r = 5 см. Найдите высоту h, при которой боковая поверхность цилиндра будет квадратной на развертке.