При каких значениях переменной y вектор a (5; -4; 3) и вектор b (-15; 12; y) являются а) ортогональными

Тема вопроса: Ортогональность и параллельность векторов

Пояснение: Чтобы определить, являются ли векторы a и b ортогональными или параллельными, мы можем использовать понятия скалярного произведения и векторного произведения.

Скалярное произведение:
Для определения ортогональности двух векторов, вычисляем их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы ортогональны.
Для векторов a и b: a • b = 5*(-15) + (-4)*12 + 3*y = -75 - 48 + 3*y

Параллельность:
Для определения параллельности двух векторов, используем векторное произведение. Если векторное произведение равно нулю, то векторы параллельны.
Для векторов a и b: a x b = (5, -4, 3) x (-15, 12, y) = (-36 - 9y, 45 - 15y, 60).
Так как векторное произведение содержит неизвестную y, чтобы векторы были параллельными, все компоненты вектора a x b должны равняться нулю.

Демонстрация:
Для определения, при каких значениях переменной y векторы a и b являются ортогональными или параллельными, вычислим скалярное произведение и векторное произведение:

a • b = -75 - 48 + 3*y = -123 + 3*y

Если a • b = 0, то векторы a и b ортогональны.
Если -123 + 3*y = 0, то векторы a и b ортогональны.
Таким образом, для ортогональности векторов a и b уравнение -123 + 3*y = 0 должно быть выполнено.

Чтобы проверить параллельность векторов a и b, рассмотрим векторное произведение:

a x b = (-36 - 9y, 45 - 15y, 60)

Если каждая компонента вектора a x b равна нулю, то векторы a и b параллельны.
Таким образом, для параллельности векторов a и b должны быть выполнены уравнения:

-36 - 9y = 0, 45 - 15y = 0, 60 = 0

Совет: Чтобы более легко понять и применить эти концепции, рекомендуется изучить материал о векторах, их свойствах и операциях над ними.

Практика: Определите, при каких значениях переменной y векторы a (2; -3; 1) и b (-4; 6; y) являются а) ортогональными б) параллельными? Вычислите скалярное произведение и векторное произведение, а затем решите уравнения для ортогональности и параллельности векторов.

Содержание вопроса: Векторы в трехмерном пространстве

Пояснение: Для того, чтобы определить, являются ли два вектора ортогональными или параллельными, мы используем понятие скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов a и b обозначается как a · b и определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы являются ортогональными. Если скалярное произведение равно произведению длин векторов, то векторы являются параллельными.

Для определения значений переменной y, при которых векторы a и b ортогональны, мы вычислим их скалярное произведение и приравняем его к нулю:

(5 * -15) + (-4 * 12) + (3 * y) = 0

-75 - 48 + 3y = 0

-123 + 3y = 0

3y = 123

y = 41

Таким образом, при y = 41 векторы a (5; -4; 3) и b (-15; 12; 41) являются ортогональными.

Чтобы определить когда векторы a и b параллельны, мы сравним их скалярное произведение с произведением длин векторов:

(5 * -15) + (-4 * 12) + (3 * y) = (sqrt(5^2 + (-4)^2 + 3^2)) * (sqrt((-15)^2 + 12^2 + y^2))

-75 - 48 + 3y = sqrt(50 + 16 + 9) * sqrt(225 + 144 + y^2)

-75 - 48 + 3y = sqrt(75) * sqrt(369 + y^2)

-75 - 48 + 3y = 5 * sqrt(369 + y^2)

3y = 75 + 48 - 5 * sqrt(369 + y^2)

3y = 123 - 5 * sqrt(369 + y^2)

y = (123 - 5 * sqrt(369 + y^2)) / 3

Таким образом, значения переменной y, при которых векторы a и b являются параллельными, можно найти, решив данное уравнение.

Совет: При решении задач по векторам, важно помнить определения скалярного произведения и свойства ортогональных и параллельных векторов.

Задание: Определите, являются ли векторы a (4; -3; 2) и b (12; -9; 6) ортогональными и параллельными? Если нет, найдите скалярное произведение векторов и угол между ними.