Представьте доказательство того, что линия, касающаяся окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку

Тема урока: Касательная к окружности

Описание:

Представим себе окружность с центром в точке O и радиусом r. Пусть точка касания находится в точке T, а радиус, проведенный в эту точку, обозначим как OT.

Чтобы доказать, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, мы можем использовать интересный факт: радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной.

Давайте рассмотрим, почему это так.

Предположим, что касательная не перпендикулярна радиусу. Тогда у нас есть некоторый угол между линией TO и касательной. Обозначим этот угол как угол A. Следовательно, мы имеем прямоугольный треугольник OTB, где TO - гипотенуза, TB - катет и OT - касательная.

Зная определение тангенса в прямоугольном треугольнике (тангенс угла равен отношению противоположнего катета к прилежащему катету), мы можем сказать, что тангенс угла A равен TB/OT.

Однако, OT является радиусом окружности, и поэтому OT равен r. Таким образом, мы имеем тангенс угла A, равный TB/r.

Но угол A очень маленький, поскольку он близок к точке касания, а радиус r достаточно большой по сравнению с TB.

То есть мы получаем, что тангенс угла A очень близок к нулю.

Но это противоречит определению тангенса: если тангенс угла близок к нулю, значит угол сам по себе должен быть близким к нулю.

Таким образом, мы пришли к выводу, что угол А должен быть близким к нулю, и следовательно, касательная должна быть перпендикулярна радиусу в точке касания.

Доп. материал:
нет примера использования.

Совет:
Чтобы лучше понять это доказательство, нарисуйте окружность и проведите радиус и касательную. Визуализация поможет вам увидеть взаимное расположение этих линий и понять, почему касательная является перпендикуляром к радиусу в точке касания.

Закрепляющее упражнение:
Рассмотрите окружность с центром в точке O и радиусом 5. Проведите радиус OT в точку касания T. Найдите угол между этим радиусом и касательной в точке T.