Предоставьте доказательство, что четырехугольник abcd является параллелограммом, а также определите его центр симметрии

Содержание вопроса: Доказательство параллелограмма и определение центра симметрии

Инструкция:
Чтобы доказать, что четырехугольник abcd является параллелограммом, необходимо проверить два условия:

1. Противоположные стороны параллельны: Для этого сравним векторы, образованные вершинами ab и cd, а также вершинами ad и bc. Если векторы равны, то противоположные стороны параллельны.

2. Противоположные стороны равны: Проверим равенство длин векторов ab и cd, а также ad и bc. Если длины равны, то противоположные стороны равны.

Для определения центра симметрии параллелограмма используем формулу:
x = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)/4
y = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄)/4
z = (z₁ + z₂ + z₃ + z₄)/4

Демонстрация:
Для определения, является ли четырехугольник abcd параллелограммом и определения его центра симметрии, выполним следующие шаги:

1. Рассчитаем векторы ab, cd:
ab = (-5 - (-2), -6 - (-4), -1 - 1) = (-3, -2, -2)
cd = (7 - 4, 12 - 10, 5 - 3) = (3, 2, 2)

2. Рассчитаем векторы ad, bc:
ad = (7 - (-2), 12 - (-4), 5 - 1) = (9, 16, 4)
bc = (4 - (-5), 10 - (-6), 3 - (-1)) = (9, 16, 4)

3. Проверим, являются ли векторы ab и cd равными: |ab| = |cd|:
|ab| = √((-3)² + (-2)² + (-2)²) = √(9 + 4 + 4) = √17
|cd| = √(3² + 2² + 2²) = √(9 + 4 + 4) = √17
Так как |ab| = |cd|, противоположные стороны равны.

4. Проверим, являются ли векторы ad и bc равными: |ad| = |bc|:
|ad| = √(9² + 16² + 4²) = √(81 + 256 + 16) = √353
|bc| = √(9² + 16² + 4²) = √(81 + 256 + 16) = √353
Так как |ad| = |bc|, противоположные стороны равны.

5. Рассчитаем координаты центра симметрии:
x = (-2 + (-5) + 4 + 7)/4 = 2/4 = 0.5
y = (-4 + (-6) + 10 + 12)/4 = 12/4 = 3
z = (1 + (-1) + 3 + 5)/4 = 8/4 = 2

Таким образом, четырехугольник abcd является параллелограммом, а его центр симметрии имеет координаты (0.5, 3, 2).

Совет:
Для лучшего понимания и запоминания материала, рекомендуется изучить понятие вектора, его свойства и операции с векторами.

Задача для проверки:
Даны координаты вершин четырехугольника: a(1, 2, 3), b(4, 5, 6), c(7, 8, 9), d(10, 11, 12). Убедитесь, что данный четырехугольник является параллелограммом, и найдите его центр симметрии.

Суть вопроса: Доказательство параллелограмма

Описание: Чтобы доказать, что четырехугольник abcd является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия: параллельность противоположных сторон и равенство диагоналей.

1. Параллельность: Для проверки параллельности, мы должны убедиться, что вектор ab параллелен вектору cd и вектор ad параллелен вектору bc.
Для этого вычислим векторы ab, cd, ad и bc, используя координаты вершин и формулу:
ab = (xa - xb, ya - yb, za - zb)
cd = (xc - xd, yc - yd, zc - zd)
ad = (xa - xd, ya - yd, za - zd)
bc = (xc - xb, yc - yb, zc - zb)

Сравним полученные векторы. Если они пропорциональны (то есть, могут быть умножены на одно и то же число, чтобы получить друг друга), то противоположные стороны параллельны.

2. Равенство диагоналей: Для проверки равенства диагоналей, мы должны убедиться, что вектор ac равен вектору bd.
Для этого вычислим векторы ac и bd, используя координаты вершин и формулу:
ac = (xc - xa, yc - ya, zc - za)
bd = (xd - xb, yd - yb, zd - zb)

Сравним полученные векторы. Если они равны, то диагонали равны.

Центр симметрии параллелограмма можно найти путем нахождения средней точки диагоналей:
центр симметрии = ((xa + xd)/2, (ya + yd)/2, (za + zd)/2)

Демонстрация:
Заданы координаты вершин параллелограмма:
а(-2; -4; 1), в(-5; -6; -1), с(4; 10; 3); d(7; 12; 5).

1. Вычислим векторы ab, cd, ad и bc:
ab = (-2 - (-5), -4 - (-6), 1 - (-1)) = (3, 2, 2)
cd = (4 - 7, 10 - 12, 3 - 5) = (-3, -2, -2)
ad = (-2 - 7, -4 - 12, 1 - 5) = (-9, -16, -4)
bc = (4 - (-5), 10 - (-6), 3 - (-1)) = (9, 16, 4)

Векторы ab и cd пропорциональны, а векторы ad и bc также пропорциональны, значит, противоположные стороны параллельны.

2. Вычислим векторы ac и bd:
ac = (4 - (-2), 10 - (-4), 3 - 1) = (6, 14, 2)
bd = (7 - (-5), 12 - (-6), 5 - (-1)) = (12, 18, 6)

Вектор ac равен вектору bd, значит, диагонали равны.

3. Найдем центр симметрии:
центр симметрии = ((-2 + 7)/2, (-4 + 12)/2, (1 + 5)/2) = (2.5, 4, 3)

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник abcd является параллелограммом, а его центр симметрии находится в точке (2.5, 4, 3).

Совет: Проверяйте равенство и параллельность пошагово, следуя шагам, описанным выше. Пользуйтесь векторными операциями для вычисления векторов.

Проверочное упражнение: Проверьте, является ли четырехугольник с вершинами a(-3, 1, 2), b(4, 3, 6), c(1, 2, 0), d(-6, 0, -4) параллелограммом. Найдите его центр симметрии при данных координатах вершин.