Покажите, что длина отрезка AV равна длине отрезка VS, если окружность касается сторон АВ и АС треугольника

Название: Равенство длин отрезков AV и VS

Пояснение:
Для доказательства равенства длин отрезков AV и VS, мы можем использовать свойства касающихся окружностей. Давайте посмотрим на треугольник АВС и на окружность, касающуюся его сторон. Обозначим точку касания окружности со стороной АВ как К, со стороной АС как Л, и со стороной ВС - как М. Известно, что МК=МЛ.

Для доказательства равенства длин отрезков AV и VS, нам необходимо показать, что треугольники АМК и АМЛ подобны. Мы знаем, что эти треугольники имеют общий угол МАК, а также прямой угол МКА=МЛА (так как МК=МЛ). Таким образом, уголы МАК и МКА равны.

Кроме того, оба треугольника имеют общий угол АМК.

Из подобия треугольников АМК и АМЛ следует, что соотношение сторон соответственно равно:

АV/МК = АS/МЛ.

Так как МК=МЛ, то соотношение можно переписать как:

АV/МК = АS/МК.

Далее, перекрестное перемножение даст нам:

АV * МК = АS * МК.

Из этого следует, что

АV = АS.

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка AV равна длине отрезка VS.

Пример:
Треугольник АВС имеет стороны АB=7 см, АC=9 см и ВС=12 см. Окружность касается сторон АВ и АС в точках К и Л соответственно, причем МК=МЛ. Найдите длины отрезков АV и VS.

Совет:
Для более легкого понимания данной задачи, можно нарисовать треугольник АВС и провести окружность, касающуюся его сторон. Отметьте точки К и Л с учетом условия МК=МЛ, чтобы лучше представить себе геометрическую конфигурацию, описанную в задаче.

Задание для закрепления:
В треугольнике ABC проведены высота BH и медиана AM. Докажите, что отрезок AM делит отрезок BH пополам.