Одокажите да ако два правоагленa троугла имaју по једнакoj катети, онда је однос синусa углова, супротних тим катетамa

Тема занятия: Доказателство за врска меѓу агли и страни во правоаголен троаголник

Објаснување:

Да го докажеме оваа врска, замислете два правоаголни троаголници со по еднаква катета. Нека дадениот троаголник е ABC, каде АВ е еднакова на AC. Исто така, нека троаголникот DEF е исто така правоаголен, со катет DЕ кој е иста должина како ЕF.

Имаме следниве податоци:
Во троаголникот ABC, катетата АВ и AC се рамни.
Во троаголникот DEF, катетите DE и EF се рамни.

Потребно е да докажеме следните тврдења:

1. Односот на синусите на супротните агли во троаголникот ABC е инверзно пропорционален на односот на хипотенузата.

За доказ на ова тврдење, можеме да употребиме законот на синуси, кој ги опфаќа сите троаголници:

sin(A) / sin(B) = AC / BC

Бидејќи AC = BC, синусите на супротните агли (sin(A) и sin(B)) се рамни. Затоа, односот на синусите е 1/1, или е равен на 1, што е инверзно пропорционален на односот на страните AC и BC, кои се иста должина.

2. Односот на тангенсите на супротните агли во троаголникот ABC е инверзно пропорционален на односот на катетите.

За доказ на ова тврдење, можеме да употребиме основната дефиниција за тангенс:

tan(A) = AB / BC

Откако AC = BC, катетите (AB и BC) се рамни. Затоа, односот на тангенсите е 1/1, или е равен на 1, што е инверзно пропорционален на односот на катетите AB и BC, кои се иста должина.

Дополнительный материал за употреба:

Да претпоставиме дека AC = BC = 5 и AB = 4.

1. За да ги опсервираме инверзните односи за синусите, можеме да ги пресметаме трите агла во троаголникот. Со користење на теоремата за синуси, можеме да го пресметаме секој агол:

sin(A) = AB / AC = 4 / 5
A = arcsin(4 / 5)

sin(B) = AB / BC = 4 / 5
B = arcsin(4 / 5)

sin(C) = AC / BC = 5 / 5 = 1
C = arcsin(1)

2. За да ги пресметаме инверзните односи за тангенсите, ќе ги користиме основните дефиниции за тангенс.

tan(A) = AB / BC = 4 / 5
A = arctan(4 / 5)

tan(B) = AB / BC = 4 / 5
B = arctan(4 / 5)

tan(C) = AC / AB = 5 / 4
C = arctan(5 / 4)

Совет:

За полесно разбирање на оваа тема, е добро да започнете со дефинициите на синуси и тангенси, како и да разберете правоаголен троаголник и неговите особини.

Вежба:

Докажете го следното тврдење: ако во правоаголен троаголник долинката е еднаква со 3, а штапот е еднаков со 4, тогаш аголот на сите троаголници е инверзно пропорционален на односот на две тежини. Решете го проблемот.