Нужно доказать, что длина отрезка, соединяющего две произвольные точки внутри равностороннего треугольника, меньше

Теория: Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где AB = AC = BC. Пусть P и Q - произвольные точки внутри этого треугольника. Мы хотим доказать, что длина отрезка PQ меньше длины стороны треугольника.

Доказательство: Рассмотрим треугольники ABP, ACP и BCP. По неравенству треугольника в каждом из этих треугольников выполняется неравенство: AB + BP > AP, AC + CP > AP, BC + CP > BP. Просуммируем эти неравенства:

AB + BP + AC + CP + BC + CP > AP + AP + BP

AB + AC + BC + 2 * CP > 2 * AP + BP

Так как AB = AC = BC и PQ = CP, получаем:

3 * AB + 2 * PQ > 3 * AP + BP

Поскольку AB = AC = BC, получаем:

3 * AB + 2 * PQ > 3 * AP + AP

3 * AB + 2 * PQ > 4 * AP

Так как AP > 0, то можно разделить обе части неравенства на 4 * AP:

(3 * AB + 2 * PQ) / (4 * AP) > 1

Получаем:

3/4 + 1/2 * (PQ / AP) > 1

Из этого следует:

PQ / AP > 1 - 3/4

PQ / AP > 1/4

Таким образом, длина отрезка PQ больше четверти длины отрезка AP. Это означает, что PQ < AP. Что и требовалось доказать.

Например: Найдите длину отрезка, соединяющего точки P(2,3) и Q(5,7) внутри равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 6 единицам.

Рекомендация: Всегда пользуйтесь геометрическими построениями и неравенствами треугольника при решении подобных задач. Визуализация поможет вам более ясно понять геометрические свойства треугольника.

Дополнительное задание: В равностороннем треугольнике ABC со стороной 8 см найдите длину отрезка, соединяющего точки P(4,5) и Q(6,7) внутри треугольника.