Необходимо доказать, что векторы CD1, C1D и AB лежат в одной плоскости

Суть вопроса: Векторы в одной плоскости

Пояснение: Чтобы доказать, что векторы CD1, C1D и AB лежат в одной плоскости, нам нужно проверить, что они коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых или совпадают.

Для начала, давайте рассмотрим вектор CD1. Вершина C - это начало вектора, а вершина D1 - конец вектора. Если вектор CD1 представляется в виде (x1, y1, z1), то его координаты равны разности координат вершины D1 и вершины C по соответствующим осям.

Аналогичным образом, вектор C1D можно представить в виде (x2, y2, z2), где (x2, y2, z2) - разность координат вершины D и вершины C1.

Вектор AB представляется в виде (x3, y3, z3), где (x3, y3, z3) - разность координат вершины B и вершины A.

Теперь, чтобы доказать, что векторы CD1, C1D и AB лежат в одной плоскости, нам нужно проверить, что определитель матрицы, составленной из координат этих векторов, равен нулю. Если определитель равен нулю, это будет означать, что векторы коллинеарны и лежат в одной плоскости.

Дополнительный материал:

Пусть CD1 = (2, 3, 1), C1D = (3, 4, 2) и AB = (1, 1, 1).

Матрица координат будет выглядеть следующим образом:

| 2 3 1 |
| 3 4 2 |
| 1 1 1 |

Проверяем определитель этой матрицы и убеждаемся, что он равен нулю. Таким образом, векторы CD1, C1D и AB лежат в одной плоскости.

Совет: Для понимания этой темы полезно ознакомиться с понятием коллинеарных векторов и определителя матрицы.

Задание для закрепления: Используя метод, описанный выше, докажите, что векторы V1 = (4, 3, 2), V2 = (-2, -3, -2) и V3 = (-6, -6, -2) лежат в одной плоскости.

Тема урока: Векторы в одной плоскости

Разъяснение: Чтобы доказать, что векторы CD1, C1D и AB лежат в одной плоскости, мы должны убедиться, что они линейно зависимы или что они равноплоские.

Пусть CD1 представлен вектором R1, C1D представлен вектором R2, а AB представлен вектором R3.

Если векторы R1, R2 и R3 являются линейно зависимыми, то существуют числа a, b и c, не все из которых равны нулю, такие что a * R1 + b * R2 + c * R3 = 0.

Чтобы убедиться, что векторы лежат в одной плоскости, мы можем проверить, удовлетворяет ли эта линейная комбинация условию a + b + c = 0.

Если a + b + c = 0, это означает, что векторы CD1, C1D и AB линейно зависимы и лежат в одной плоскости.

Пример:
Заданы векторы CD1 = (1, 2, 3), C1D = (4, 5, 6) и AB = (7, 8, 9). Доказать, что они лежат в одной плоскости.

Решение:
Мы должны проверить, существуют ли такие числа a, b и c, не все из которых равны нулю, что a * CD1 + b * C1D + c * AB = 0.

Пусть a = 1, b = -2 и c = 1. Тогда
1 * (1, 2, 3) + (-2) * (4, 5, 6) + 1 * (7, 8, 9) = (1, 2, 3) + (-8, -10, -12) + (7, 8, 9) = 0.

Таким образом, векторы CD1, C1D и AB линейно зависимы и лежат в одной плоскости.

Совет: Чтобы легче понять, что векторы лежат в одной плоскости, можно визуализировать их на координатной плоскости или использовать графическое представление для проверки.

Дополнительное задание: Даны векторы PQ = (2, 4, 1), PR = (3, 2, -1) и PS = (-1, -2, 3). Доказать, что они лежат в одной плоскости.