Необходимо доказать, что в равнобедренном треугольнике abc с основанием ac биссектрисы ak и cm равны между собой

Содержание: Доказательство равенства биссектрис в равнобедренном треугольнике

Пояснение:
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть BK и BM - биссектрисы углов ABC и BAC соответственно. Нам нужно доказать, что отрезки BK и BM равны.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Поэтому мы имеем AB = BC. Разделим обе стороны на 2 и объединим две полученные дроби:

AB/2 = BC/2.

Если мы проведем биссектрису угла ABC, она разобьет сторону AC на две части. Пусть AK и CK будут эти части. Аналогично, проведя биссектрису угла BAC, получим отрезки AM и CM.

Так как биссектриса делит сторону пропорционально прилежащим ей углам, в нашем случае имеем:

AB/2 : BK = AC : CK,
AB/2 : BM = AC : CM.

Но из свойства биссектрис следует, что отношение длины боковой стороны к отрезку, образованному с биссектрисой, одинаково для любого треугольника.

Таким образом, имеем:

AC : CK = AC : CM.

Отсюда следует, что CK = CM.

Подставляя это равенство в полученное ранее равенство, получим:

AB/2 : BK = AC : CK = AC : CM = AB/2 : BM.

Отсюда следует, что BK = BM, что и требовалось доказать.

Например:
Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB и BC, сторона AB равна 8 см. Требуется найти длину отрезков BK и BM.

Совет:
Для лучшего понимания и запоминания данной теоремы рекомендуется рассмотреть несколько примеров равнобедренных треугольников и их биссектрисы.

Задание:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB и BC известно, что BK = 12 см. Найдите длину отрезка BM.