Необходимо доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, где диагонали пересекаются в точке O, а медиана

Содержание вопроса: Доказательство параллелограмма ABCD как прямоугольника с пересекающимися диагоналями и перпендикулярной медианой

Объяснение:
Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником с пересекающимися диагоналями и перпендикулярной медианой, нам следует использовать два свойства прямоугольника: все его углы являются прямыми, и его диагонали равны и пересекаются в точке, которая делит их пополам.

Для начала обратим внимание на углы параллелограмма ABCD. Поскольку стороны AB и CD параллельны, и соединяющие их стороны AD и BC также параллельны, мы можем заключить, что углы A и C, а также углы B и D, являются соответственными углами параллельных линий и, следовательно, равными.

Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD обозначена как O. Все четыре треугольника, образованные этими диагоналями, равноправны, так как у них по две равные стороны (диагонали являются общими сторонами для каждого треугольника) и одинаковые углы.

Теперь обратим внимание на треугольник BOC. Пусть M - середина стороны BC. Поскольку OM - медиана этого треугольника и O - точка пересечения диагоналей, то, чтобы доказать, что OM перпендикулярна стороне BC, нужно показать, что треугольник BMO равнобедренный.

Треугольник BMO равнобедренный, потому что у него BM = MO (по свойству медианы) и углы BMO и MBO равны (так как они являются соответственными углами параллельных линий BM и CD).

Таким образом, мы доказали, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, так как его углы прямые, диагонали равны и пересекаются в точке, которая делит их пополам, а медиана треугольника BOC перпендикулярна стороне BC.

Доп. материал:
Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, где AB = 6 см, BC = 8 см и OM = 5 см.

Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить это доказательство, рисуйте диаграмму и отмечайте равные стороны и углы в каждом шаге. Также полезно знать свойства прямоугольников и треугольников при решении подобных задач.

Задание для закрепления:
В параллелограмме ABCD диагональ AC пересекает диагональ BD в точке O. Медиана треугольника BOC перпендикулярна стороне BC и равна 12 см. Найдите длину стороны BC параллелограмма ABCD.