Необходимо доказать, что ABCD - прямоугольник, где A(1.1), B(2.3), C(0.4) и D(-1.2

Суть вопроса: Доказательство, что ABCD - прямоугольник

Пояснение: Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно проверить два условия: углы должны быть прямыми, а диагонали должны быть равными.

Для начала, давайте найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты точек A(1.1), B(2.3), C(0.4) и D(-1.2). Используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, мы можем найти следующие значения:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((2 - 1)² + (3 - 1)²) = √(1² + 2²) = √5

BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((0 - 2)² + (4 - 3)²) = √((-2)² + 1²) = √5

CD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-1 - 0)² + (2 - 4)²) = √((-1)² + (-2)²) = √5

DA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((1 - (-1))² + (1 - 2)²) = √((1 + 1)² + (1 + 2)²) = √5

Как видим, все стороны равны √5, что означает, что стороны прямоугольника ABCD равны.

Затем, давайте проверим, являются ли углы прямыми. Мы можем взять произведение направляющих векторов AB и AD, а затем произведение направляющих векторов BC и CD. Если эти произведения равны нулю, то углы прямые.

AB = (2-1)i + (3-1)j = i + 2j
AD = (-1-1)i + (-2-1)j = -2i - 3j
Поэтому AB · AD = (i + 2j) · (-2i - 3j) = -2i² - 3j² = -2 - 3 = -5

BC = (0-2)i + (4-3)j = -2i + j
CD = (-1-0)i + (2-4)j = -i - 2j
Поэтому BC · CD = (-2i + j) · (-i - 2j) = 2i² + 2j² = 2 + 2 = 4

AB · AD ≠ BC · CD, значит, углы ABC и BCD не являются прямыми. Для ABCD не выполнено второе условие для прямоугольника, поэтому мы не можем сделать вывод о том, что ABCD - прямоугольником.

Совет: Для наглядности вычислений можно построить график данных точек и соответствующих прямых. Использование графического представления может помочь лучше понять геометрию фигур и провести проверку на прямоугольность.

Задача для проверки: Даны координаты точек E(3.2), F(6.2), G(3.4) и H(6.4). Докажите, что EFGH - прямоугольник.

Содержание вопроса: Доказательство прямоугольности четырехугольника ABCD

Пояснение: Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, нам необходимо убедиться, что все его углы являются прямыми.

Для этого мы можем воспользоваться свойствами координат на плоскости. Даны координаты точек A(1.1), B(2.3), C(0.4) и D(-1.2). Находим координаты векторов AB и BC, а затем вычисляем их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то угол между векторами прямой.

Рассмотрим вектор AB:
AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)

Теперь вектор BC:
BC = (0-2, 4-3) = (-2, 1)

Вычислим их скалярное произведение:
AB * BC = (1 * -2) + (2 * 1) = -2 + 2 = 0

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, угол между векторами AB и BC прямой. Аналогично, можно показать, что все углы четырехугольника ABCD являются прямыми углами.

Таким образом, мы доказали, что ABCD - прямоугольник.

Пример: Найдите скалярное произведение векторов DE и EF, где точки D(1, 2) и E(3, 4), а точка F(5, 6).

Совет: При работе с координатами на плоскости, всегда следите за порядком точек, чтобы избежать ошибок при вычислениях.

Дополнительное задание: Даны координаты точек P(2, 3), Q(4, 1) и R(6, -2). Доказать, что угол PQR прямой и определить, является ли треугольник PQR прямоугольным.