Нехай пряма позначена як та дотикається кола з центром у точці та точкою дотику у точці . На дотичній до кола по різні

Содержание вопроса: Доказательство равенства отрезков

Объяснение:
Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся свойствами касательных и сходством треугольников.

Поскольку прямая касается окружности в точке и пересекает ее в точке , то угол между касательной и хордой , проведенной из точки , будет прямым.

Рассмотрим треугольники и . Они имеют общий угол при вершине , так как эти углы совпадают с прямым углом.

Далее, по условию задачи, длины отрезков и равны.

Используя свойство сходных треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники и подобны, так как у них два угла при вершине совпадают и соответствующие стороны пропорциональны.

Таким образом, отношение длин соответствующих сторон треугольников и равно отношению длин соответствующих сторон треугольников и , то есть:

=

А так как и , то получаем, что:

=

Таким образом, доказано, что длины отрезков и равны.

Дополнительный материал:
Прямая касается окружности в точке и пересекает ее в точке . На дотичной касательной от точки , от разные стороны от точки , отложены отрезки так, что длины и равны. Докажите, что длины и также равны.

Совет:
Чтобы лучше понять данное доказательство, полезно визуализировать задачу на рисунке. Рисуют окружность с центром в точке и прямую, которая касается окружности в точке . Затем, на этой касательной откладывают два отрезка и , равные между собой. Анализируя свойства треугольников и касательных, можно прийти к выводу о равенстве отрезков и .

Ещё задача:
Прямая касается окружности в точке и пересекает ее в точке . На дотичной касательной от точки , от разные стороны от точки , отложены отрезки так, что длины и равны. Какова длина отрезка ?