Найти значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD с вершинами A(-1,-4,7), B(1,3,5

Тема урока: Косинус угла между векторами

Инструкция: Для начала, нам необходимо найти векторы, соответствующие смежным сторонам параллелограмма ABCD. Для этого мы используем координаты вершин A и B.

Вектор AB можно найти, вычислив разность координат B - A:
AB = (1 - (-1), 3 - (-4), 5 - 7) = (2, 7, -2)

Аналогично, вектор AD можно найти, вычислив разность координат D - A:
AD = (3 - (-1), -2 - (-4), 1 - 7) = (4, 2, -6)

Затем мы можем найти вектор, перпендикулярный плоскости параллелограмма, используя вектора AB и AD. Для этого рассчитываем векторное произведение этих векторов:
n = AB × AD

n = (2, 7, -2) × (4, 2, -6) = (26, 4, 30)

Затем нам понадобится найти вектор MD, вычислив разность координат D - M:
MD = (3 - 3, -2 - (-2), 1 - 1) = (0, 0, 0)

Теперь мы можем рассчитать косинус угла между векторами n и MD с помощью формулы:
cos(θ) = (n · MD) / (|n| · |MD|)

Где n · MD представляет собой скалярное произведение векторов n и MD, а |n| и |MD| - длины этих векторов соответственно.

Так как вектор MD имеет нулевую длину, то и скалярное произведение n · MD будет равно нулю.

Ответ: Значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD равно 0.

Доп. материал:
Задача: Найти значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD с вершинами A(-1,-4,7), B(1,3,5) и точкой пересечения диагоналей M(3,-2,1). Записать ответ в виде округленной до трех знаков после запятой десятичной дроби.

Решение:
AB = (1 - (-1), 3 - (-4), 5 - 7) = (2, 7, -2)
AD = (3 - (-1), -2 - (-4), 1 - 7) = (4, 2, -6)
n = (2, 7, -2) × (4, 2, -6) = (26, 4, 30)
MD = (3 - 3, -2 - (-2), 1 - 1) = (0, 0, 0)

cos(θ) = (n · MD) / (|n| · |MD|)
cos(θ) = (0) / (|n| · |MD|)
cos(θ) = 0

Ответ: Значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD равно 0.

Совет: Для более понятного представления векторов и их свойств, важно визуализировать их на координатной плоскости или в трехмерном пространстве. Также полезно изучить основные понятия и формулы, связанные с векторами и их операциями.

Ещё задача:
Дано два вектора A = (1, 2, 3) и B = (4, -1, 5). Найти значение синуса α между векторами A и B, записать ответ в виде округленной до трех знаков после запятой десятичной дроби.

Тема вопроса: Косинус угла между смежными сторонами параллелограмма

Инструкция:
Чтобы найти значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма, нам понадобятся координаты точек A, B и M.

Сначала найдем вектора сторон параллелограмма AB и AD, используя координаты вершин A и B:
AB = B - A
= (1, 3, 5) - (-1, -4, 7)
= (1+1, 3+4, 5-7)
= (2, 7, -2)

AD = M - A
= (3, -2, 1) - (-1, -4, 7)
= (3+1, -2+4, 1-7)
= (4, 2, -6)

Затем вычислим скалярное произведение векторов AB и AD:
AB · AD = |AB| × |AD| × cos(α),
где |AB| - длина вектора AB, |AD| - длина вектора AD, α - искомый угол.

Длины векторов AB и AD можно найти с использованием формулы:
|AB| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2),
где x, y, z - координаты вектора AB.

|AB| = sqrt(2^2 + 7^2 + (-2)^2)
= sqrt(4 + 49 + 4)
= sqrt(57) ≈ 7.55

|AD| = sqrt(4^2 + 2^2 + (-6)^2)
= sqrt(16 + 4 + 36)
= sqrt(56) ≈ 7.48

Когда мы вычислили длины векторов, теперь можем найти значение косинуса угла α:
cos(α) = (AB · AD) / (|AB| × |AD|)
= (2 × 4 + 7 × 2 + (-2) × (-6)) / (7.55 × 7.48)
= (8 + 14 + 12) / (56.69)
≈ 34.2272 / (56.69)
≈ 0.6037

Ответ: Косинус острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD составляет примерно 0.604.

Пример:
Вопрос: Найдите значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD с вершинами A(-1,-4,7), B(1,3,5) и точкой пересечения диагоналей M(3,-2,1).

Ответ: Косинус острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD составляет примерно 0.604.

Совет:
Для лучшего понимания материала, рекомендуется ознакомиться с понятием параллелограмма, векторами и скалярным произведением векторов. Практика решения подобных задач поможет закрепить материал и научиться применять его на практике.

Задача на проверку:
Найдите значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма EFGH с вершинами E(-3,5,-2), F(4,1,6) и точкой пересечения диагоналей N(-1,4,3). Запишите ответ в виде округленной до трех знаков после запятой десятичной дроби.