Найти координаты векторов AC и AD, модули векторов AC и AD, координаты вектора EF=3AC-2AD, скалярное произведение

Тема занятия: Векторы в пространстве

Разъяснение:
Вектор - это направленный отрезок, характеризующийся своей длиной (модулем) и направлением. Векторы обычно обозначаются строчными буквами с стрелками над ними. Координаты вектора задаются с помощью чисел, соответствующих его проекциям на оси координат.

Для заданной точки A(x₁, y₁, z₁) и точки C(x₂, y₂, z₂) в трехмерном пространстве, координаты вектора AC можно найти как разность координат конечной и начальной точек: AC = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). Аналогично можно найти координаты вектора AD для точек A и D.

Модуль вектора AC (|AC|) можно найти с помощью формулы: |AC| = sqrt((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)² ). То же самое можно сделать и для вектора AD.

Вектор EF можно найти, зная векторы AC и AD, по формуле: EF = 3AC - 2AD. Здесь мы просто умножаем каждую координату вектора AC на 3 и каждую координату вектора AD на -2, а затем складываем полученные результаты.

Скалярное произведение векторов AC и AD можно найти с помощью формулы: AC · AD = (x₁*x₂ + y₁*y₂ + z₁*z₂). Здесь мы умножаем соответствующие координаты векторов и складываем их.

Косинус угла между векторами AC и AD можно найти, используя формулу: cos(θ) = (AC · AD) / (|AC| * |AD|). Здесь мы делим скалярное произведение векторов на произведение их модулей.

Демонстрация:
Даны точки A(1, 2, 3), C(4, 5, 6) и D(7, 8, 9). Найдите координаты векторов AC и AD, модули векторов AC и AD, координаты вектора EF = 3AC - 2AD, скалярное произведение векторов AC и AD, косинус угла между векторами.

Совет:
Для лучшего понимания векторов и их операций советуем визуализировать их на трехмерной координатной плоскости. Это поможет вам представить их направления и взаимосвязи.

Ещё задача:
Даны точки A(2, -1, 3), С(5, 4, -2) и D(1, -3, 2). Найдите координаты векторов AC и AD, модули векторов AC и AD, координаты вектора EF = 2AC - AD, скалярное произведение векторов AC и AD, косинус угла между векторами.