Найдите высоту конуса, если его боковая поверхность является круговым сектором с углом 270 градусов и имеет площадь

Тема: Высота конуса, основанная на боковой поверхности

Пояснение: Для решения этой задачи мы должны использовать формулу для площади боковой поверхности конуса, а также формулу для площади кругового сектора.

Формула для площади боковой поверхности конуса выглядит следующим образом:
S = π * r * l

Где S - площадь боковой поверхности, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Формула для площади кругового сектора:
S = (π * r^2 * α) / 360

Где S - площадь сектора, r - радиус, α - угол сектора.

В данной задаче нам известно, что площадь боковой поверхности равна 12π и угол сектора равен 270 градусов. Подставим значения в формулу площади кругового сектора и решим ее относительно радиуса:

12π = (π * r^2 * 270) / 360

Сокращая общие члены и упрощая уравнение, получим:

12 = (r^2 * 270) / 360

После упрощения и перестановки частей уравнения, получим:

r^2 = (12 * 360) / 270

r^2 = 16

r = √16

r = 4

Таким образом, радиус основания конуса равен 4 сантиметра.

Теперь мы можем найти высоту конуса, используя формулу Пифагора. При этом образующая конуса будет равна радиусу, так как они перпендикулярны друг другу.

h^2 = r^2 + l^2

h^2 = 4^2 + 4^2

h^2 = 16 + 16

h = √32

h = 4√2

Таким образом, высота конуса равна 4√2.

Совет: Для лучшего понимания концепции и решения подобных задач, полезно изучить геометрические свойства конуса и его различные формулы, включая формулу площади боковой поверхности.

Закрепляющее упражнение: Найдите площадь основания конуса, если его радиус равен 5 сантиметров.