Найдите расстояние от вершины D параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость а, до плоскости

Суть вопроса: Расстояние от вершины до плоскости

Пояснение:

Чтобы найти расстояние от вершины D параллелограмма ABCD до плоскости а, мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[ d = \frac{{|ax_D + by_D + cz_D + d|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2 + c^2}}}} \]

где (x_D, y_D, z_D) - координаты вершины D, а, b, c - коэффициенты плоскости аx + by + cz + d = 0.

Для определения коэффициентов плоскости а, b, c и d, мы можем использовать координаты трех точек, лежащих на плоскости. Предположим, что у нас есть точки A, B и C, лежащие на плоскости а.

Пример:

Дано:
Вершина D: (3, 4, 5)
Плоскость а: 2x + 3y - z + 4 = 0

Чтобы найти расстояние от вершины D до плоскости а, мы сначала найдем коэффициенты плоскости а.

Выбираем точки A(1, 0, 2), B(0, 1, -1) и C(-2, -1, 3).

Вычисляем значения a, b, c и d:

a = 2
b = 3
c = -1
d = -4

Подставляем значения в формулу расстояния от точки до плоскости:

\[ d = \frac{{|2(3) + 3(4) + (-1)(5) + (-4)|}}{{\sqrt{{2^2 + 3^2 + (-1)^2}}}} \]

\[ d = \frac{{|-1 + 12 - 5 - 4|}}{{\sqrt{{4 + 9 + 1}}}} \]

\[ d = \frac{{2}}{{\sqrt{{14}}}} \]

\[ d \approx 0.537 \]

Таким образом, расстояние от вершины D параллелограмма ABCD до плоскости а равно примерно 0.537.

Совет:
Для понимания расстояния от точки до плоскости, полезно запомнить формулу и основные шаги вычисления.

Упражнение:
Найдите расстояние от вершины E(2, -1, 3) параллелограмма ABCD до плоскости а: 4x - 2y + z - 5 = 0.