Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами длиной 30 см и 40 см. Найдите радиус

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами длиной 30 см и 40 см.

Описание: Чтобы найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, мы можем использовать свойство, которое гласит, что центр окружности лежит на середине гипотенузы прямоугольного треугольника. Зная длины катетов треугольника, мы можем найти его гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².

В нашем случае:
a = 30 см (длина одного катета)
b = 40 см (длина другого катета)

Подставляя значения в формулу, получим:
c² = 30² + 40²
c² = 900 + 1600
c² = 2500
c = √(2500)
c = 50

Теперь мы знаем длину гипотенузы треугольника, которая равна 50 см. Так как радиус окружности, описанной около треугольника, является половиной длины гипотенузы, радиус равен половине длины гипотенузы.

Таким образом, радиус окружности, описанной прямоугольным треугольником с катетами длиной 30 см и 40 см, равен 25 см.

Пример: Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами длиной 12 см и 16 см.

Совет: Если вам дан прямоугольный треугольник, всегда проверяйте, являются ли его стороны пропорциональными, чтобы определить, является ли он особым случаем треугольника, например, равнобедренным или равносторонним. Это позволит упростить вычисления.

Задание: Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами длиной 9 см и 12 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Тема: Радиусы окружностей в прямоугольном треугольнике

Разъяснение: Чтобы найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, мы можем использовать свойство, которое гласит, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы треугольника. В данном случае, катеты треугольника имеют длину 30 см и 40 см. Для нахождения гипотенузы, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, квадрат гипотенузы будет равен 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500. Извлекая квадратный корень из данного значения, мы получим длину гипотенузы - 50 см. Следовательно, радиус описанной окружности будет равен половине гипотенузы, то есть 25 см.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться формулой, связывающей радиус вписанной окружности с площадью треугольника и его полупериметром. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как произведение катетов, поделенное на 2. Полупериметр можно найти как сумму катетов, поделенную на 2. Таким образом, формула для радиуса вписанной окружности будет выглядеть как r = площадь треугольника / полупериметр. В данном случае, площадь треугольника будет равна (30 * 40) / 2 = 600 кв. см, а полупериметр - (30 + 40 + 50) / 2 = 60 см. Подставляя значения в формулу радиуса вписанной окружности, мы получаем r = 600 / 60 = 10 см.

Демонстрация:
Задача: Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами длиной 9 см и 12 см и решите задачу, чтобы найти радиус вписанной окружности.
Решение:
Для нахождения радиуса описанной окружности, используем свойство, гласящее, что радиус равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой Пифагора: 9^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369. Извлекаем квадратный корень из 369, получаем гипотенузу равной 19,235 см. Радиус описанной окружности будет равен половине этой величины, то есть примерно 9,618 см.

Для нахождения радиуса вписанной окружности используем формулу r = площадь треугольника / полупериметр. Площадь треугольника будет равна (9 * 12) / 2 = 54 кв.см, а полупериметр будет равен (9 + 12 + 19,235) / 2 = 20,618 см. Подставляем в формулу и получаем радиус вписанной окружности, округленный до ближайшего целого числа: r = 54 / 20,618 ≈ 2,620 см.

Совет: Чтобы лучше понять свойства окружностей, рекомендуется ознакомиться с основными определениями и формулами, связанными с окружностями. Также полезно будет решать практические задачи и применять полученные знания на практике.

Упражнение:
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами длиной 8 см и 15 см. Затем найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.