На сколько нужно увеличить радиус основания конуса, чтобы объем остался прежним, если высоту конуса уменьшили в 4 раза?

Суть вопроса: Увеличение радиуса основания конуса

Разъяснение:
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу объёма конуса, которая выглядит так: V = (1/3)πr²h, где V - объём, r - радиус основания и h - высота конуса.
По условию задачи, высоту конуса уменьшили в 4 раза, то есть новая высота будет равна h/4. Нужно найти на сколько нужно увеличить радиус основания конуса, чтобы объём остался прежним. Для этого можем составить уравнение на основе заданной формулы объёма:
V = (1/3)πr²h = (1/3)π(r+x)²(h/4), где x - увеличение радиуса.

Раскроем скобки:
V = (1/3)πr²h = (1/3)π(r²+2xr+x²)(h/4).

Упростим уравнение:
V = (1/3)πr²h = (1/12)πr²h+ (1/6)πxrh + (1/12)πx²h.

В данном уравнении у нас есть несколько неизвестных (r, x и h), поэтому нам нужно исключить одну из них. Если мы хотим, чтобы объём остался прежним, то нам необходимо приравнять коэффициенты при каждом слагаемом к исходному объёму:

r²h/3 = r²h/12 + xrh/6 + x²h/12.

Теперь сгруппируем похожие слагаемые, чтобы упростить уравнение:

r²h/3 - r²h/12 = xrh/6 + x²h/12.

Общий знаменатель 12 имеем:

[4r²h - r²h] / 12 = [2xrh + x²h] / 12.

Поделим обе части уравнения на h:

[4r² - r²] / 12 = [2xr + x²] / 12.

Упростим дроби:

[(4 - 1)r²] / 12 = [(2x + x²)] / 12.

(3r²) / 12 = (2x + x²) / 12.

Теперь у нас есть:

r²/4 = (2x + x²) / 12.

Умножим обе части уравнения на 4:

r² = 4(2x + x²) / 12.

r² = (2x + x²) / 3.

Умножим обе части на 3 и получим квадратное уравнение:

3r² = 2x + x².

Таким образом, мы получили квадратное уравнение, которое позволяет нам найти значение увеличения радиуса основания конуса (x), таким образом, чтобы объём остался прежним.

Пример:
Пусть исходные значения будут: r = 5, h = 10.
Тогда, основываясь на полученном уравнении 3r² = 2x + x², мы можем решить его:
3*5² = 2x + x²,
75 = 2x + x².

Совет:
Если вы столкнулись с квадратным уравнением, что является актуальным при решении задачи о конусе, попробуйте привести его к виду, где с одной стороны стоят все слагаемые, а с другой - ноль. Затем вычислите корни уравнения с помощью факторизации, формулы корней квадратного уравнения или графическим способом. Выберите подходящий способ, который будет удобен для вас.

Практика:
У вас есть конус с радиусом основания 8 и высотой 16. На сколько нужно увеличить радиус основания, чтобы объём остался прежним, если высоту конуса уменьшили в 3 раза? Найдите значение увеличения радиуса (x).