На изображении 311,б представлен треугольник, который является правильным и вписанным в окружность с радиусом r.s=10

Треугольник:
Введём обозначение a для стороны треугольника. Так как треугольник правильный, все его стороны равны. Также в данной задаче дано, что радиус окружности r.s=10. Это означает, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 10.

Площадь треугольника:
Правильный треугольник можно разделить на три равнобедренных треугольника. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле S = 0.5 * a * h, где a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

Высоту треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора. При рассмотрении одного из равнобедренных треугольников, его основание будет равняться a, а катет h будет равняться половине стороны треугольника, то есть a/2. Таким образом, применяя теорему Пифагора, найдем высоту треугольника - h = sqrt(a^2 - (a/2)^2).

Площадь треугольника равна сумме площадей трех равнобедренных треугольников: S = 3 * (0.5 * a * h). Подставим значение h и упростим выражение: S = 3 * (0.5 * a * sqrt(a^2 - (a/2)^2)).

Радиус вписанной окружности:
Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом: r = (2 * S) / p, где p - периметр треугольника. Так как треугольник правильный и все его стороны равны, периметр треугольника равен p = 3 * a.

Подставим значение площади треугольника S = 3 * (0.5 * a * sqrt(a^2 - (a/2)^2)) в формулу для радиуса правильного треугольника: r = (2 * S) / (3 * a).

Дополнительный материал:
Пусть a = 6. Тогда, для данного треугольника, площадь можно вычислить следующим образом: S = 3 * (0.5 * 6 * sqrt(6^2 - (6/2)^2)) = 18 * sqrt(36 - 9) = 18 * sqrt(27).

Радиус вписанной окружности будет равен: r = (2 * 3 * (0.5 * 6 * sqrt(6^2 - (6/2)^2))) / (3 * 6) = sqrt(27).

Совет:
Для лучшего понимания площади и радиуса вписанной окружности в правильном треугольнике, рекомендуется изучить геометрические свойства и формулы, связанные с правильными треугольниками и окружностями.

Задача для проверки:
В правильном треугольнике с стороной a = 8, найдите площадь треугольника и радиус вписанной окружности.