Могут ли вершины треугольника принадлежать плоскости α? Поясните свой ответ

Суть вопроса: Принадлежность вершин треугольника плоскости

Объяснение: Чтобы понять, принадлежат ли вершины треугольника плоскости α, мы должны учитывать основные свойства плоскости и треугольника.

Плоскость α представляет собой плоскость в трехмерном пространстве, заданную уравнением. Вершины треугольника - это точки в трехмерном пространстве, заданные своими координатами.

Для того, чтобы вершины треугольника принадлежали плоскости α, все три вершины должны удовлетворять уравнению плоскости α. В общем случае уравнение плоскости выглядит как ax + by + cz + d = 0, где a, b, c и d - коэффициенты плоскости α, а (x, y, z) - координаты точки в трехмерном пространстве.

Таким образом, если подставив координаты каждой вершины треугольника в уравнение плоскости α, мы получим верное утверждение (то есть равенство нулю), то вершины принадлежат плоскости α. В противном случае, вершины не принадлежат этой плоскости.

Дополнительный материал: Пусть плоскость α задана уравнением 2x + 3y - z + 1 = 0. Вершины треугольника имеют следующие координаты: A(1, 2, 3), B(4, -1, 2) и C(0, 5, -3).

Подставим координаты каждой вершины в уравнение плоскости α:

Для точки A: 2*1 + 3*2 - 3 + 1 = 2 + 6 - 3 + 1 = 6 ≠ 0
Для точки B: 2*4 + 3*(-1) - 2 + 1 = 8 - 3 - 2 + 1 = 4 ≠ 0
Для точки C: 2*0 + 3*5 - (-3) + 1 = 15 + 3 + 1 = 19 ≠ 0

Таким образом, ни одна из вершин треугольника не принадлежит плоскости α.

Совет: При решении таких задач полезно знать, что если все вершины треугольника лежат на одной плоскости, то такой треугольник называется "плоским" или "дегенеративным". В этом случае общее уравнение плоскости, содержащей вершины треугольника, может быть найдено, используя координаты этих трех точек. Если же вершины не лежат на одной плоскости, тогда можно сказать, что вершины не принадлежат плоскости α.

Задание: Вершины треугольника имеют следующие координаты: A(2, -1, 4), B(3, 5, -2), C(-1, 0, 3). Определите, принадлежат ли эти вершины плоскости α, заданной уравнением 3x + 2y + z - 4 = 0.