Какой угол образуют векторы, определенные точками а(5; -8; -1) и в(6; -8; -2)?

Суть вопроса: Угол между векторами в трехмерном пространстве.

Инструкция: Для определения угла между двумя векторами в трехмерном пространстве используется косинусная формула. Пусть у нас есть два вектора A и B с компонентами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно.

Угол между векторами определяется следующим образом:

cos(θ) = (A·B) / (|A| |B|),

где A·B представляет скалярное произведение векторов A и B, |A| и |B| - их модули (или длины).

Скалярное произведение векторов A и B можно вычислить следующим образом:

A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Модуль вектора A равен:

|A| = √(x1^2 + y1^2 + z1^2).

Применяя формулы к задаче, имеем:

A = (5, -8, -1),
B = (6, -8, -2).

|A| = √(5^2 + (-8)^2 + (-1)^2) = √(25 + 64 + 1) = √90 ≈ 9.49,
|B| = √(6^2 + (-8)^2 + (-2)^2) = √(36 + 64 + 4) = √104 ≈ 10.20.

A·B = 5*6 + (-8)*(-8) + (-1)*(-2) = 30 + 64 + 2 = 96.

cos(θ) = 96 / (9.49 * 10.20) ≈ 0.9992.

Используя тригонометрическую функцию acos, находим угол θ:

θ = acos(0.9992) ≈ 0.0646 радиан или около 3.70 градусов.

Совет: Для лучшего понимания угла между векторами в трехмерном пространстве, рекомендуется повторить понятие скалярного произведения векторов и основы тригонометрии.

Закрепляющее упражнение: Рассмотрим векторы A(2, 3, -4) и B(-1, 2, 3). Найдите угол между этими векторами.