Какой радиус вписанной окружности в треугольнике ABC, где АС = 4, ВС = 3, и угол С равен 90 градусов?

Тема: Радиус вписанной окружности в треугольнике

Описание: Чтобы найти радиус вписанной окружности в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться формулой радиуса вписанной окружности, которая гласит:

\[ r = \frac{{\text{{Площадь треугольника}}}}{{\text{{Полупериметр треугольника}}}} \],

где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( S \) - площадь треугольника, а \( p \) - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}, \]

где \( AB \), \( BC \), и \( AC \) - длины сторон треугольника, а \( p \) - полупериметр треугольника, который можно найти как:

\[ p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} \].

Мы знаем, что \( AB = AC = 4 \), а \( BC = 3 \). Давайте найдем полупериметр:

\[ p = \frac{{AB + BC + AC}}{2} = \frac{{4 + 3 + 4}}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \].

Теперь, используя формулу Герона, мы можем найти площадь треугольника:

\[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{5.5(5.5 - 4)(5.5 - 3)(5.5 - 4)} = \sqrt{5.5 \cdot 1.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{30.9375} \approx 5.567 \].

Наконец, подставляем площадь и полупериметр в формулу радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{5.567}{5.5} \approx 1.012 \].

Таким образом, радиус вписанной окружности в треугольнике ABC составляет примерно 1.012.

Совет: В данной задаче важно правильно использовать формулы для нахождения полупериметра, площади треугольника и радиуса вписанной окружности. Также помните о значении угла C, которое равно 90 градусов.

Дополнительное задание: Найдите радиус вписанной окружности в треугольнике DEF, где DE = 6, EF = 8, и DF = 10.