Каковы выражения векторов AC, CA и BD через векторы a в прямоугольнике ABCD, где AB = a и AD

Суть вопроса: Векторные выражения в прямоугольнике

Описание:
В прямоугольнике ABCD, где AB = a и AD = b, мы можем выразить векторы AC, CA и BD с использованием данных векторов a и b.

1. Вектор AC: Вектор AC можно представить как сумму векторов AB и BC.

AC = AB + BC.

Так как AB = a и BC = b, то мы можем написать:

AC = a + BC.

2. Вектор CA: Вектор CA можно представить как разность векторов CB и BA.

CA = CB - BA.

Зная, что CB = -BC (векторы, направленные по диагонали противоположны друг другу), а BA = -AB, мы можем записать:

CA = -BC - (-AB) = -BC + AB.

Подставив AB = a, получим:

CA = -BC + a.

3. Вектор BD: Вектор BD можно представить как сумму векторов AB и AD.

BD = AB + AD.

Подставив AB = a и AD = b, получим:

BD = a + b.

Например:
Задача: В прямоугольнике ABCD, где AB = i + 2j и AD = 3i - 4j, выразите векторы AC, CA и BD через векторы a и b.

Решение:
1. Вектор AC:
AC = AB + BC.
AB = i + 2j.
BC = AD = 3i - 4j.

Подставим значения:
AC = (i + 2j) + (3i - 4j) = 4i - 2j.

2. Вектор CA:
CA = -BC + AB.
BC = AD = 3i - 4j.
AB = i + 2j.

Подставим значения:
CA = -(3i - 4j) + (i + 2j) = -2i + 6j.

3. Вектор BD:
BD = AB + AD.
AB = i + 2j.
AD = 3i - 4j.

Подставим значения:
BD = (i + 2j) + (3i - 4j) = 4i - 2j.

Совет: Для лучшего понимания векторных выражений в прямоугольнике, важно знать основные правила сложения и вычитания векторов. Это позволит легче представлять векторные отношения в геометрическом пространстве.

Дополнительное упражнение: В прямоугольнике ABCD, где AB = 2i + 3j и AD = 4i - j, выразите векторы AC, CA и BD через векторы a и b.

Предмет вопроса: Векторы в прямоугольнике

Разъяснение:
Вектор - это направленный отрезок, который имеет начальную и конечную точки. Вектор можно обозначать буквой с надстрочным стрелочным символом: например, вектор AC обозначается как a̅.

В прямоугольнике ABCD, где AB = a и AD = b, мы можем найти выражения для векторов AC, CA и BD, используя свойства векторов и геометрию.

1. Вектор AC:
Вектор AC можно найти путем сложения векторов AB и BC: AC = AB + BC. Так как AB = a и BC = b, то AC = a + b.

2. Вектор CA:
Вектор CA можно найти как отрицание вектора AC: CA = -AC. Таким образом, CA = -(a + b).

3. Вектор BD:
Вектор BD можно найти путем сложения векторов BA и AD: BD = BA + AD. Так как BA = -AB (обратный вектор AB) и AD = b, то BD = -a + b.

Пример:
Пусть вектор a имеет координаты (2, 3), а вектор b имеет координаты (-1, 4). Мы можем найти выражения для векторов AC, CA и BD следующим образом:

1. Вектор AC:
AC = a + b = (2, 3) + (-1, 4) = (2 - 1, 3 + 4) = (1, 7).

2. Вектор CA:
CA = -(a + b) = -(1, 7) = (-1, -7).

3. Вектор BD:
BD = -a + b = -(2, 3) + (-1, 4) = (-2, -3) + (-1, 4) = (-2 - 1, -3 + 4) = (-3, 1).

Совет:
Чтобы лучше понять векторы в прямоугольнике, полезно использовать графическое представление. Нарисуйте прямоугольник ABCD и отметьте направления векторов AB и AD. Затем, используя свойства векторов (сумма и отрицание), найдите выражения для векторов AC, CA и BD. Вы также можете практиковаться в вычислении выражений для разных значениях векторов a и b.

Дополнительное задание:
В прямоугольнике ABCD, где AB = (3, 4) и AD = (1, -2), найдите выражения для векторов AC, CA и BD.