Каковы длины сторон прямоугольного треугольника abc (угол c=90°), если: а) высота cd равна 6 см, ад равно 2

Содержание вопроса: Правильные треугольники

Инструкция:
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов равен 90°. У этого треугольника есть особое свойство - сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, то есть, a² + b² = c² , где a и b - катеты, c - гипотенуза.

а)
В данной задаче у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны высота cd = 6 см и ad = 2 см.

Мы можем найти длину одного из катетов, используя соотношение между площадями треугольников. Площадь треугольника можно найти, умножив полупериметр на радиус вписанной окружности. В нашем случае, мы можем использовать следующую формулу: a = S / (p - ad), где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

b)
В этом варианте задачи у нас есть высота cd = 5√2 и соотношение между отрезками bd и da равно 1:2. Также известно, что ad + bd + cd = c, где ad и bd - катеты, cd - гипотенуза.

Мы можем использовать эту информацию, чтобы записать пропорцию bd/da = 1/2 и найти соответствующие отрезки bd и da. Затем мы можем использовать те же формулы, что и в предыдущей задаче, чтобы найти длину гипотенузы и другие стороны треугольника.

Демонстрация:

а) Дано: высота cd = 6 см, ad = 2 см

Для начала найдем площадь треугольника, пользуясь формулой S = (ad * cd) / 2:
S = (2 * 6) / 2 = 6 см²

Теперь найдем полупериметр треугольника:
p = (ad + cd + c) / 2
p = (2 + 6 + c) / 2
p = (8 + c) / 2

Далее, используем формулу a = S / (p - ad):
a = 6 / ( (8 + c) / 2 - 2)
a = 6 / (4 + c/2 - 2)
a = 6 / (2 + c/2)
a = 12 / (2 + c/2)

Найдем квадрат катета a:
a² = (12 / (2 + c/2))²
a² = (12/(2 + c/2))^2
a² = 144 / (4 + c + c/2 + c²/4)
a² = 144 / (4 + c/2 + c²/4 + c)
a² = 144 / (4 + c(1/2 + c/4 + 1))
a² = 144 / (5/2 + c(2/4 + c/4))
a² = 144 / (5/2 + c(3/4))
a² = 144 / (5/2 + 3c/4)

Теперь найдем квадрат гипотенузы c, используя формулу a² + b² = c²:
6² + (12 / (2 + c/2))² = c²
36 + (144 / (5/2 + 3c/4))^2 = c²

На данном этапе мы можем решить это уравнение, подставив значения и вычислив квадраты, чтобы найти значение гипотенузы c.

б) Дано: высота cd = 5√2, соотношение bd/da = 1/2

Вначале найдем значения bd и da, используя пропорцию bd/da = 1/2:
bd/da = 1/2
bd = da/2

Затем можно записать уравнение ad + bd + cd = c и заменить значения ad и bd из предыдущей формулы:
2 + da/2 + 5√2 = c

Дальше можно использовать применить тот же подход, который мы использовали в предыдущем примере для нахождения длины сторон треугольника.

Совет:
Для решения задач на прямоугольные треугольники всегда стоит помнить про основное свойство этих треугольников - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (a² + b² = c²). Кроме того, в задачах могут использоваться другие свойства треугольников, например, высоты или пропорции между сторонами.

Задание для закрепления:
Дано прямоугольный треугольник abc, где угол c = 90°. Если сторона а равна 5 см, а сторона b равна 12 см, найдите длину гипотенузы треугольника.