Каковы длины оснований равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, которая делит боковую сторону на отрезки длиной

Суть вопроса: Длины оснований равнобедренной трапеции, вписанной в окружность

Пояснение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, вписанную в окружность с центром O. Пусть AC и BD - ее основания, а AB и CD - боковые стороны. Также известно, что боковая сторона BC делит сторону AD на два отрезка одинаковой длины.

По свойству вписанного угла, угол ADC равен углу ABC, а угол ACD равен углу BCD. Также из равнобедренности трапеции имеем углы ABC и BCD, равные друг другу. Отсюда получаем, что угол ADC равен углу ACD - обозначим этот угол через x.

В треугольниках ACD и BCD у нас есть три угла, сумма которых равна 180 градусов. Значит, угол CAD равен (180 - 2x) градусов, а угол CDB равен (180 - x) градусов.

Используя свойство косинуса, получаем:
cos(180 - x) = cos(x)
cos(180 - 2x) = cos(2x)

Так как cos(180 - α) = -cos(α), то получаем:
-cos(x) = cos(2x)

Используя формулу косинуса для удвоенного угла:
-cos(x) = 2cos^2(x) - 1

Решая это уравнение, мы найдем два значения x, соответствующих основаниям трапеции. Зная значение x, мы можем вычислить длины оснований AC и BD.

Демонстрация:
Задача: В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, боковая сторона делит сторону основания на два отрезка длиной 5 dm и 7 dm. Найдите длины оснований трапеции.

Совет: Для понимания этой задачи полезно знать свойства равнобедренных трапеций, вписанных в окружность. Это также подразумевает использование формулы косинуса для удвоенного угла.

Задача для проверки: Дана равнобедренная трапеция ABCD, вписанная в окружность с центром O. Основание AC равно 15 cm, угол между основанием и боковой стороной AB равен 45 градусов. Найдите длину боковой стороны AB.