Каково уравнение сферы, которая касается трех координатных плоскостей при радиусе 3? Сколько существует таких сфер?

Содержание: Уравнение сферы, касающейся трех координатных плоскостей

Описание: Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет следующий вид: (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

В данной задаче нам известно, что сфера касается трех координатных плоскостей. Когда сфера касается плоскости, координаты точки касания удовлетворяют уравнению плоскости. Таким образом, для каждой плоскости у нас есть уравнение, содержащее координаты центра сферы и радиус.

Плоскости могут быть заданы следующими уравнениями:
1. Плоскость xy: z = 0
2. Плоскость xz: y = 0
3. Плоскость yz: x = 0

Теперь, зная уравнения плоскостей и условие касания трех плоскостей со сферой, мы можем определить уравнение сферы. Подставим эти уравнения в уравнение сферы и решим систему уравнений для определения координат центра сферы и радиуса.

1. Для плоскости xy: уравнение сферы становится (x - a)^2 + (y - b)^2 + c^2 = r^2
2. Для плоскости xz: уравнение сферы становится (x - a)^2 + b^2 + (z - c)^2 = r^2
3. Для плоскости yz: уравнение сферы становится a^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

Подставим координаты точки касания для каждой плоскости в соответствующие уравнения для определения значений a, b, c и r. Решив систему уравнений, мы найдем уравнение сферы, которая касается трех координатных плоскостей при заданном радиусе.

Существует только одна сфера, касающаяся трех координатных плоскостей при заданном радиусе, так как все плоскости пересекаются в одной точке касания и радиус сферы одинаков для всех плоскостей.

Например: Пусть центр сферы имеет координаты (2, 3, 4), а радиус равен 3. Найдем уравнение сферы, касающейся трех координатных плоскостей.

Совет: При решении задач, связанных с уравнениями сфер и плоскостей, полезно визуализировать графическую интерпретацию, используя координатную систему и геометрические примитивы.

Дополнительное задание: Найти уравнение сферы, которая касается плоскостей xz, yz и xy, при заданном радиусе 5 и центре в точке (1, 2, 3).

Тема занятия: Уравнение сферы, касающейся трех координатных плоскостей

Пояснение:
Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,
где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус сферы.

Если сфера касается всех трех координатных плоскостей, то радиус сферы будет равен расстоянию от центра сферы до любой плоскости. В нашем случае, так как радиус сферы равен 3, это означает, что расстояние от центра сферы до любой плоскости равно 3.

Существует бесконечно много сфер, которые могут касаться трех координатных плоскостей при радиусе 3. Координаты центра сферы могут быть любыми числами, но для сферы, касающейся плоскостей, эти числа будут связаны соотношением с радиусом 3.

Например:
Уравнение сферы, касающейся трех координатных плоскостей при радиусе 3:
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 3^2,
x^2 + y^2 + z^2 = 9.

Совет:
Для лучшего понимания уравнений сферы, рекомендуется ознакомиться с материалом о системе координат и геометрии трехмерного пространства. Знание основной геометрии и формул расстояния между точками также будет полезным при изучении данной темы.

Дополнительное задание:
Найдите уравнение сферы, касающейся плоскостей при радиусе 5. Определите координаты центра сферы.