Каково отношение объема шарового сегмента к объему шара, если высота шарового сегмента составляет 1/3 диаметра шара?

Тема: Отношение объема шарового сегмента к объему шара

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала понять, что такое шаровой сегмент и объем шара. Шаровой сегмент - это часть шара, ограниченная сферической поверхностью и двумя плоскостями, проходящими через центр шара. Объем шара - это мера пространства, занимаемого шаром.

Для определения отношения объема шарового сегмента к объему шара, воспользуемся формулами для вычисления этих величин. Объем шара можно рассчитать по формуле V = (4/3) * π * r^3, где V - объем, а r - радиус шара.

В данной задаче нам известна высота шарового сегмента, которая составляет 1/3 диаметра шара. Если обозначить радиус шара как r, то высота шарового сегмента будет равна h = (1/3) * 2r = (2/3) * r.

Для вычисления объема шарового сегмента воспользуемся формулой Vсегмента = (1/6) * π * h * (3r^2 - h^2). Подставим значение высоты: Vсегмента = (1/6) * π * (2/3) * r * (3r^2 - [(2/3) * r]^2). Упростим выражение и получим окончательный ответ:

Ответ: Vсегмента / V = (4/9) * (3r^2 - [(2/3) * r]^2) / r^3

Пример: Пусть радиус шара r = 5 см. Найдем отношение объема шарового сегмента к объему шара.

Решение: Подставим значение радиуса в формулу: Vсегмента / V = (4/9) * (3*5^2 - [(2/3) * 5]^2) / 5^3. Вычислим числитель: (4/9) * (3*25 - [(2/3) * 5]^2) = (4/9) * (75 - [(10/3)^2]) = (4/9) * (75 - [100/9]) = (4/9) * (675/9 - 100/9) = (4/9) * (575/9) = 2300/81. Значит, отношение объема шарового сегмента к объему шара составляет 2300/81.

Совет: Для лучшего понимания этой темы, рекомендуется ознакомиться с геометрическими свойствами шаров и шаровых сегментов, а также повторить основные формулы и методы вычисления объемов.

Упражнение: Найдите отношение объема шарового сегмента к объему шара, если высота шарового сегмента составляет 1/2 диаметра шара. Запишите ответ в виде V/п.