Каково доказательство того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником? Найдите площадь данного

Тема урока: Доказательство прямоугольности четырехугольника и вычисление его площади

Инструкция:
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы можем воспользоваться свойствами его сторон, углов или диагоналей.

1. Свойства сторон:
- Найдите длины всех сторон четырехугольника ABCD, используя формулу расстояния между двумя точками:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух вершин.
- Если стороны AB и CD равны, и стороны BC и AD равны, то четырехугольник ABCD является прямоугольником.

2. Свойства углов:
- Найдите углы четырехугольника ABCD, используя формулу для вычисления угла между двумя векторами:
cos θ = (a*b) / (|a|*|b|), где a и b - векторы, образованные сторонами, |a| и |b| - длины этих сторон.
- Если оба угла между сторонами равны 90 градусов, то четырехугольник ABCD является прямоугольником.

3. Свойства диагоналей:
- Найдите длины диагоналей AC и BD, используя формулу расстояния между двумя точками.
- Если диагонали AC и BD пересекаются в точке M, и AM и MC, а также BM и MD равны, то четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, можно воспользоваться формулой площади любого четырехугольника, зная координаты его вершин, таким образом:
S = |(x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2))/2|

Демонстрация:
Для доказательства прямоугольности четырехугольника ABCD, вычислим длины его сторон:

AB = √((17-14)^2 + (8-2)^2) = √(9 + 36) = √45
BC = √((11-17)^2 + (11-8)^2) = √(36 + 9) = √45
CD = √((8-11)^2 + (5-11)^2) = √(9 + 36) = √45
AD = √((14-8)^2 + (2-5)^2) = √(36 + 9) = √45

Так как AB = CD и BC = AD, можно заключить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Для вычисления площади четырехугольника ABCD подставим координаты его вершин в формулу площади:
S = |(14*(8-11) + 17*(11-2) + 11*(2-8))/2| = |(-6 + 135 - 66)/2| = |63/2| = 31.5

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 31.5 квадратных единиц.

Совет: Повторите свойства прямоугольников, расстояния между двумя точками и углы, чтобы лучше понять эту тему и решать задачи.

Задача для проверки: Даны координаты вершин четырехугольника EFGH: E(4;3), F(6;6), G(2;7), H(0;4). Доказать, что четырехугольник EFGH является прямоугольником и вычислить его площадь.