Каково доказательство параллельности плоскостей ABC и A1B1C1?
Каково доказательство параллельности плоскостей ABC и A1B1C1?
27.11.2023 17:36
Верные ответы (1):
Магический_Кристалл
65
Показать ответ
Название: Доказательство параллельности плоскостей ABC и A1B1C1
Описание:
Плоскости ABC и A1B1C1 будут параллельными, если их нормальные векторы перпендикулярны друг другу. Для доказательства этого факта, мы проверим, что нормальные векторы плоскостей ABC и A1B1C1 перпендикулярны.
Плоскость ABC задается уравнением:
Ax + By + Cz + D = 0
Нормальный вектор для этой плоскости имеет координаты (A, B, C).
Нормальный вектор для этой плоскости имеет координаты (A1, B1, C1).
Теперь нам нужно показать, что скалярное произведение этих нормальных векторов равно нулю:
(A, B, C) • (A1, B1, C1) = AA1 + BB1 + CC1 = 0
Если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то это означает, что векторы перпендикулярны, а, следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны.
Демонстрация:
Пусть плоскость ABC задана уравнением 2x + 3y - 4z + 5 = 0, а плоскость A1B1C1 задана уравнением 4x - 6y + 8z - 10 = 0. Чтобы доказать их параллельность, найдем нормальные векторы и вычислим их скалярное произведение:
Нормальный вектор для плоскости ABC: (2, 3, -4)
Нормальный вектор для плоскости A1B1C1: (4, -6, 8)
Так как скалярное произведение равно -42, что не равно нулю, то плоскость ABC и плоскость A1B1C1 не параллельны.
Совет:
Для более легкого понимания доказательства параллельности плоскостей ABC и A1B1C1, хорошо бы знать, что такое нормальный вектор плоскости и как его найти. Также стоит вспомнить свойство перпендикулярности, скалярное произведение векторов и его свойства.
Дополнительное упражнение:
В плоскости ABC задана прямая, проходящая через точку (1, 2, 3) с направляющим вектором (2, -1, 4). В плоскости A1B1C1 задана точка (3, 4, 5) и нормальный вектор (1, -2, 3). Проведите доказательство параллельности плоскостей ABC и A1B1C1.
Все ответы даются под вымышленными псевдонимами! Здесь вы встретите мудрых наставников, скрывающихся за загадочными никами, чтобы фокус был на знаниях, а не на лицах. Давайте вместе раскроем тайны обучения и поищем ответы на ваши школьные загадки.
Описание:
Плоскости ABC и A1B1C1 будут параллельными, если их нормальные векторы перпендикулярны друг другу. Для доказательства этого факта, мы проверим, что нормальные векторы плоскостей ABC и A1B1C1 перпендикулярны.
Плоскость ABC задается уравнением:
Ax + By + Cz + D = 0
Нормальный вектор для этой плоскости имеет координаты (A, B, C).
Плоскость A1B1C1 задается уравнением:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Нормальный вектор для этой плоскости имеет координаты (A1, B1, C1).
Теперь нам нужно показать, что скалярное произведение этих нормальных векторов равно нулю:
(A, B, C) • (A1, B1, C1) = AA1 + BB1 + CC1 = 0
Если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то это означает, что векторы перпендикулярны, а, следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны.
Демонстрация:
Пусть плоскость ABC задана уравнением 2x + 3y - 4z + 5 = 0, а плоскость A1B1C1 задана уравнением 4x - 6y + 8z - 10 = 0. Чтобы доказать их параллельность, найдем нормальные векторы и вычислим их скалярное произведение:
Нормальный вектор для плоскости ABC: (2, 3, -4)
Нормальный вектор для плоскости A1B1C1: (4, -6, 8)
Скалярное произведение: (2, 3, -4) • (4, -6, 8) = 2 * 4 + 3 * (-6) + (-4) * 8 = 8 - 18 - 32 = -42
Так как скалярное произведение равно -42, что не равно нулю, то плоскость ABC и плоскость A1B1C1 не параллельны.
Совет:
Для более легкого понимания доказательства параллельности плоскостей ABC и A1B1C1, хорошо бы знать, что такое нормальный вектор плоскости и как его найти. Также стоит вспомнить свойство перпендикулярности, скалярное произведение векторов и его свойства.
Дополнительное упражнение:
В плоскости ABC задана прямая, проходящая через точку (1, 2, 3) с направляющим вектором (2, -1, 4). В плоскости A1B1C1 задана точка (3, 4, 5) и нормальный вектор (1, -2, 3). Проведите доказательство параллельности плоскостей ABC и A1B1C1.