Какова высота равностороннего треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен

Название: Высота равностороннего треугольника с вписанной окружностью

Разъяснение: Чтобы вычислить высоту равностороннего треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен r, нам понадобится использовать свойство вписанных углов и равносторонности треугольника.

Изобразим равносторонний треугольник с вписанной окружностью и проведем высоту, соединяющую вершину треугольника с центром окружности. Обозначим высоту как h.

Используя свойство вписанных углов, угол между радиусом и высотой равен 90 градусов, поскольку прямой угол образуется, когда радиус перпендикулярен отрезку, соединяющему центр окружности с точкой касания на стороне треугольника.

Также, так как треугольник равносторонний, все его углы равны 60 градусам.

Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Катет одного из этих треугольников будет равен r, а второго - h. Гипотенуза каждого из треугольников будет соответственно равна стороне треугольника.

Используя теорему Пифагора для каждого прямоугольного треугольника, мы можем записать:

(сторона треугольника)^2 = r^2 + h^2

Так как сторона треугольника равна 2r (вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника), мы можем записать:

(2r)^2 = r^2 + h^2

Упростив это уравнение, мы получим:

4r^2 = r^2 + h^2

Вычитая r^2 из обеих сторон, получаем:

3r^2 = h^2

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

h = √3r

Таким образом, высота равностороннего треугольника с вписанной окружностью равна √3, умноженное на радиус вписанной окружности.

Демонстрация: Допустим, у нас есть равносторонний треугольник, в котором радиус вписанной окружности равен 4 см. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать формулу h = √3r:

h = √3 * 4 = √12 ≈ 3.464 см

Таким образом, высота треугольника составляет примерно 3.464 см.

Совет: Если вы затрудняетесь в понимании этой задачи, попробуйте визуализировать равносторонний треугольник с вписанной окружностью и его высоту. Используйте свойства вписанных углов и равносторонности, чтобы вывести соответствующий треугольник и применить теорему Пифагора для нахождения высоты.

Задача для проверки: Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике равен 5 см. Найдите высоту треугольника.