Какова высота правильной треугольной пирамиды, если радиус окружности, описанной вокруг ее основания, равен 8

Задача: Высота треугольной пирамиды с описанной около ее основания окружностью

Решение:

Для начала, рассмотрим правильную треугольную пирамиду, у которой радиус окружности, описанной вокруг ее основания, равен 8 см.

Правильная треугольная пирамида обладает такими свойствами:
- Основание пирамиды является правильным треугольником, у которого все стороны равны.
- Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной вокруг основания.

Чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится сторона треугольника основания.

Пользуясь теоремой Пифагора, мы можем найти сторону треугольника основания:
\[ a^2 + a^2 = (2a)^2 \],
где a - сторона треугольника.

\[ 2a^2 = 4a^2 \],
\[ a^2 = \frac{{(2a)^2}}{4} \],
\[ a = \frac{r \cdot 2}{\sqrt{3}} \],
\[ a = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \].

Высота пирамиды будет равна произведению стороны треугольника основания (a) на коэффициент \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \].

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{24}{\sqrt{3}}\) см.

Что такое апофема пирамиды?

Апофема пирамиды - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до середины ребра основания, перпендикулярно плоскости основания. В правильной треугольной пирамиде, апофема будет равна половине высоты пирамиды.

Какова площадь боковой поверхности пирамиды?

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l \],
где P - периметр основания, l - апофема пирамиды.

В нашем случае, основание пирамиды - правильный треугольник, поэтому периметр можно найти как 3 умножить на сторону треугольника:
\[ P = 3a = 3 \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} \].

Апофема равна половине высоты пирамиды:
\[ l = \frac{h}{2} = \frac{\frac{24}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{12}{\sqrt{3}} \].

Теперь, подставляя значения в формулу для площади боковой поверхности, получаем:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{12}{\sqrt{3}} \].

Предмет вопроса: Высота и площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

Описание:

Обозначим высоту правильной треугольной пирамиды как h. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, равен 8 см.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали основания пирамиды, радиусом окружности и апофемой пирамиды. Этот треугольник является прямоугольным.

Можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы.

Зная, что один из катетов равен радиусу окружности (8 см), а гипотенуза равна апофеме, обозначим апофему как a. Тогда имеем уравнение:

8^2 + a^2 = h^2

Для нахождения апофемы a ищем его связь с радиусом окружности и высотой пирамиды. Правильная треугольная пирамида является половиной тетраэдра, в котором апофема связана с радиусом и высотой следующим образом:

a^2 = h^2 - (r^2)

Зная эти соотношения, мы можем решить уравнение и найти высоту пирамиды, а также при необходимости можем использовать формулу для вычисления площади боковой поверхности пирамиды.

Пример:

Задача: Какова высота правильной треугольной пирамиды, если радиус окружности, описанной вокруг ее основания, равен 8 см?

Решение:

Используем формулу a^2 = h^2 - (r^2). Подставляем известные значения: (8^2) = h^2 - (8^2). Решаем уравнение: 64 = h^2 - 64. Прибавляем 64 к обоим сторонам: h^2 = 128. Извлекаем квадратный корень с obu_storon: h ≈ 11.31.

Ответ: Высота пирамиды примерно равна 11.31 см.

Вы также спросили про апофему и площадь боковой поверхности пирамиды. Для апофемы можно использовать те же формулы. Что касается площади боковой поверхности пирамиды, ее можно вычислить, зная высоту и периметр основания (P) с помощью формулы: Sбок = (Ph)/2.

Совет: Всегда важно хорошо владеть геометрией и уметь применять соответствующие формулы и теоремы. Практикуйтесь в решении различных задач и старайтесь понять принципы, которые лежат в основе каждой теоремы или формулы.