Какова площадь треугольника ABC, если в нем угол C равен 90°, DC=3 и tgB=2?

Треугольник ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C.
Мы знаем, что DC=3 и tgB=2.
Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В данном случае, гипотенуза - это сторона AB (где прямой угол не находится), а катеты - это стороны BC и AC.
Мы знаем, что угол C равен 90°, поэтому стороны BC и AC являются катетами.
Таким образом, мы можем записать:
AB^2 = BC^2 + AC^2
Теперь давайте найдем значения BC и AC, используя данные из задачи.
Мы знаем, что tgB=2. Тангенс угла можно выразить как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значит, tgB = BC / DC. Заменим значения:
2 = BC / 3. Перемножим обе стороны на 3:
6 = BC.
Таким образом, BC = 6.
Теперь, используя теорему Пифагора, подставим значения в формулу:
AB^2 = 6^2 + AC^2
AB^2 = 36 + AC^2
Так как угол C равен 90°, мы знаем, что стороны BC и AC образуют катеты прямого треугольника. Значит, они должны быть положительными.
Для простоты рассмотрим только положительные значения.
Предположим, что AC=4. Подставим это значение в формулу:
AB^2 = 36 + 4^2
AB^2 = 36 + 16
AB^2 = 52
AB = √52, что можно упростить до 2√13 (приближенное значение).
Таким образом, площадь треугольника ABC равна (1/2) * BC * AC = (1/2) * 6 * 4 = 12.