Какова площадь боковой поверхности конуса, если площадь сечения шара, проведенного под углом 30° к его диаметру

Содержание вопроса: Площадь боковой поверхности конуса

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для площади боковой поверхности конуса и определить, как она связана с площадью сечения шара, проведенного под углом 30° к его диаметру.

Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена с помощью формулы: S = πrℓ, где r - радиус основания конуса, ℓ - образующая конуса (расстояние от вершины до точки на окружности основания).

Теперь рассмотрим площадь сечения шара. Если шар разрезан плоскостью, проведенной под углом 30° к его диаметру, то полученное сечение будет кругом. Площадь круга вычисляется по формуле: S = πr², где r - радиус круга.

Дано, что площадь этого сечения шара составляет 75π см². Зная формулу, мы можем записать уравнение: 75π = πr².

Упрощая это уравнение, получаем: r² = 75.

Далее, чтобы найти радиус основания конуса, мы должны найти катет конуса, который соответствует высоте, т.е. этой образующей конуса. Так как ось конуса проходит по ребру шара, и это ребро образует 30° с абсолютной плоскостью, то мы можем использовать связь между радиусом и образующей треугольника. В треугольнике, где один катет равен половинке диаметра шара, а гипотенуза - радиус шара, другой катет будет равен `r / √3`.

Раскрывая уравнение по Пифагору, получим `(r / √3)² + (r/2)² = r²` (рационализация корня).

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:
`r²/3 + r²/4 = r²`.

Далее, чтобы упростить это уравнение, нужно найти общий знаменатель и сложить дроби:
`(4r² + 3r²)/12 = r²`.

Суммируя числитель, получаем:
`7r²/12 = r²`.

Теперь у нас есть уравнение для r², мы можем упростить его:
`7r² = 12r²`.

Вычитая `12r²` из обеих частей, получаем:
`0 = 5r²`.

Таким образом, получаем r = 0 или 5. Поскольку мы говорим о физическом объекте, r не может быть 0, поэтому r = 5.

Теперь мы можем найти длину образующей ℓ, используя формулу Пифагора:
`ℓ² = 5² + (5/√3)²`.

Вычисляя значение, получаем:
`ℓ² = 25 + 25/3`.

`ℓ² = (75 + 25)/3 = 100/3`.

`ℓ = √(100/3) = 10/√3 = (10√3)/3`.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса, используя формулу: S = πrℓ.
S = π * 5 * (10√3)/3 = 50π√3/3.

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна 50π√3/3 квадратных сантиметров.

Совет: При решении задач на геометрию полезно знать формулы для площадей и объемов геометрических фигур. Также важно уметь использовать связи между разными фигурами, например, между шаром и конусом, чтобы решать задачи.

Ещё задача: Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен 8 см, а образующая - 15 см.