Какова длина образующей конуса, если его объем составляет 100 π см³, а площадь основания равна 25 π см²?

Суть вопроса: Объем и площадь основания конуса

Объяснение: Чтобы найти длину образующей конуса, мы должны использовать формулу для объема конуса и формулу для площади основания.

Формула для объема конуса:
V = (1/3) * π * r^2 * h

Формула для площади основания:
S = π * r^2

В данной задаче, нам дано, что объем конуса равен 100π см³ и площадь основания равна 25π см².

Мы можем использовать формулу для площади основания, чтобы выразить радиус (r) основания конуса:
25π = π * r^2

Делим обе стороны на π:
r^2 = 25

Извлекаем квадратный корень:
r = 5

Теперь мы можем использовать найденное значение радиуса, чтобы найти высоту (h) конуса, используя формулу объема конуса:
100π = (1/3) * π * 5^2 * h

Упрощаем выражение:
100 = (1/3) * 25 * h

Умножаем обе стороны на 3:
300 = 25h

Делим обе стороны на 25:
h = 12

Таким образом, длина образующей конуса равна 12 см.

Совет: При решении задач на конусы, всегда важно использовать правильные формулы и быть внимательными к единицам измерения, чтобы получить точный ответ.

Дополнительное упражнение: Какова длина образующей конуса, если его объем равен 150π см³, а радиус основания равен 4 см?

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать формулы для объема и площади конуса. Объем конуса можно выразить следующей формулой:

V = (1/3) * π * r² * h,

где V - объем, π - число пи, r - радиус основания и h - высота конуса. Площадь основания конуса может быть выражена следующей формулой:

S = π * r²,

где S - площадь основания и r - радиус основания.

Мы знаем, что V = 100π и S = 25π, поэтому мы можем заменить эти значения в соответствующих формулах:

100π = (1/3) * π * r² * h,
25π = π * r².

Теперь давайте решим второе уравнение относительно r, чтобы получить значение радиуса:

25π = π * r²,
r² = 25,
r = 5.

Теперь, когда у нас есть значение радиуса (r = 5), мы можем заменить его в первом уравнении:

100π = (1/3) * π * 5² * h,

и упростить уравнение:

100π = (1/3) * 25π * h,
100 = (1/3) * 25h,
100 = (25/3)h.

Теперь мы можем решить для h:

h = (100 * 3) / 25,
h = 12.

Таким образом, длина образующей конуса равна 12 см.

Демонстрация: Найдите длину образующей конуса, если его объем составляет 100 π см³, а площадь основания равна 25 π см².

Совет: Помните, что для решения задачи вам может потребоваться использовать различные формулы и выражения. Внимательно читайте условие задачи и постепенно решайте ее, заменяя данную информацию в соответствующих формулах. Если у вас возникнут сложности, не стесняйтесь обратиться к учителю или использовать дополнительные учебные материалы для изучения конкретного темы.

Задача на проверку: Какова будет длина образующей конуса, если его объем равен 200 π см³, а радиус основания составляет 10 см?