Какова длина медианы АМ треугольника АВС с вершинами в точках А(-2:1), В(2;4) и С(6;-2)? Какой косинус угла ВАС? Какова

Содержание: Решение геометрической задачи

Описание:

Для решения задачи, найдем длину медианы АМ треугольника АВС с помощью формулы для длины медианы. Длина медианы может быть найдена с использованием координат вершин треугольника. Формула для длины медианы:

Медиана, проходящая через вершину А, делит другую сторону пополам, где координаты вершин А, В, С треугольника АВС равны:

А(-2:1), В(2:4), С(6:-2)

Чтобы найти длину медианы АМ, найдем середину стороны расположенной на вершине А, используя формулу нахождения координат середины отрезка. Затем вычислим расстояние между вершиной М и серединой стороны на основе формулы расстояния между точками.

Длина медианы АМ:

Найдем середину стороны BC:
XB = (2 + 6) / 2 = 4,
YB = (4 + (-2)) / 2 = 1.

Теперь мы можем вычислить длину МB (расстояние между вершиной М(-2:1) и серединой стороны В(-2:1)):

МB = √((XB - XМ)² + (YB - YМ)²).

Теперь найдем косинус угла ВАС:

Косинус угла вычисляется с использованием формулы косинуса:

cos(ВАС) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC).

Не забудьте рассмотреть длину сторон AB, AC и BC, чтобы использовать их значения в формуле.

Чтобы найти площадь треугольника АВС, воспользуемся формулой Герона:

S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)),

где p - полупериметр треугольника, равный p = (AB + AC + BC) / 2.

Например:
Медиана АМ треугольника АВС:
- Найдем середину стороны ВС: XC = (2 + 6) / 2 = 4; YC = (4 + -2) / 2 = 1.
- Вычислим длину МC: МC = √((4 - -2)² + (1 - -2)²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5.
- Ответ: длина медианы АМ треугольника АВС равна 3√5.

Косинус угла ВАС:
- Длина сторон AB, AC, BC: AB = √((2 - -2)² + (4 - 1)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5,
AC = √((6 - -2)² + (-2 - 1)²) = √(8² + (-3)²) = √(64 + 9) = √73,
BC = √((6 - 2)² + (-2 - 4)²) = √(4² + (-6)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
- Вычислим косинус угла ВАС: cos(ВАС) = (5² + √73² - (2√13)²) / (2 * 5 * √73) = (25 + 73 - 52) / (10√73) = 46 / (10√73) = (23 / 5√73) = (23√73) / (365) = 0.2057.
- Ответ: косинус угла ВАС равен 0.2057.

Площадь треугольника АВС:
- Вычислим полупериметр треугольника: p = (AB + AC + BC) / 2 = (5 + √73 + 2√13) / 2.
- Вычислим площадь треугольника: S = √((5 + √73 + 2√13) / 2 * (5 + √73 + 2√13) / 2 - 5 * √73 * 2√13) = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)).
- Ответ: площадь треугольника АВС равна S.

Совет:
- Перед вычислением длины медианы, убедитесь, что вы правильно нашли середину стороны, чтобы избежать ошибок в ответе.
- При вычислении косинуса угла ВАС, внимательно проверьте, что вы правильно используете длины сторон AB, AC и BC.

Задача на проверку:
Найдите длину медианы ВМ и площадь треугольника ВМС с вершинами В(0:0), М(4:2) и С(8:0). Какой косинус угла ВМС?