Какова длина хорды, образованной пересечением прямой y - 3 x+1=0 с окружностью x^2+y^2=5?

Тема урока: Длина хорды окружности

Описание: Для решения этой задачи, мы должны найти пересечение прямой и окружности, а затем найти длину хорды.

Прямая задана уравнением y - 3x + 1 = 0. Чтобы найти пересечение с окружностью x^2 + y^2 = 5, мы можем заменить y в уравнении окружности на (3x - 1).

Подставляя это значение, получаем уравнение: x^2 + (3x - 1)^2 = 5.

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получаем: x^2 + 9x^2 - 6x + 1 - 5 = 0.

Сводим подобные члены и решаем квадратное уравнение: 10x^2 - 6x - 4 = 0.

Используя квадратное уравнение, найдем значения x: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Подставляя значения a=10, b=-6 и c=-4, получаем два значения для x: x1≈0.4 и x2≈-0.6.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы подставляем x в прямую: y1 = 3(0.4) - 1 ≈ 0.2 и y2 = 3(-0.6) - 1 ≈ -2.8.

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0.4, 0.2) и (-0.6, -2.8). Затем, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве, можем найти длину хорды.

Формула для нахождения длины хорды: L = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Подставляя значения, получаем: L = √((0.4 - (-0.6))^2 + (0.2 - (-2.8))^2) ≈ √(1^2 + 3^2) ≈ √10 ≈ 3.16.

Таким образом, длина хорды, образованной пересечением прямой y - 3x + 1 = 0 с окружностью x^2 + y^2 = 5, примерно равна 3.16.

Совет: При решении подобных задач, всегда проверяйте полученные значения и проводите дополнительные вычисления, чтобы убедиться в правильности ответа. Также полезно знать формулу расстояния между двумя точками и уметь применять ее для решения задач.

Дополнительное упражнение: Найдите длину хорды, образованной пересечением прямой 2y + x - 4 = 0 и окружности x^2 + y^2 = 9.