Какова длина гипотенузы в треугольнике АВС, где ∠С=90°, ∠В=30° и АС=25

Треугольник АВС является прямоугольным треугольником с прямым углом в точке С. Угол В составляет 30°, а длина стороны АС равна 25.

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Мы знаем, что гипотенуза треугольника это сторона, напротив прямого угла, то есть сторона ВС. Нам необходимо найти длину ВС.

Для начала, мы можем найти длину стороны АВ, используя теорему синусов. Теорема синусов утверждает, что соотношение между сторонами и углами в треугольнике можно выразить следующим образом: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где a, b и c - длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

В нашем случае, мы можем записать a/sin(A) = b/sin(B). Подставим значения: a = 25, A = 90° (противолежащий угол к стороне АС), b = АВ (сторона напротив угла В) и B = 30°. Получим:

25/sin(90°) = АВ/sin(30°)

sin(90°) = 1, а sin(30°) = 1/2

25 = АВ/(1/2)

АВ = 25 * 2 = 50

Теперь у нас есть длина стороны АВ. Чтобы найти длину стороны ВС, мы можем использовать теорему косинусов. Эта теорема гласит, что c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C), где c - длина стороны ВС, a и b - длины других двух сторон треугольника, а C - угол между сторонами a и b (в данном случае, угол С).

Подставим значения: a = 25, b = 50 и C = 90°. Получим:

c^2 = 25^2 + 50^2 - 2 * 25 * 50 * cos(90°)

c^2 = 625 + 2500 - 2500 * 0

c^2 = 625 + 2500

c^2 = 3125

c = √3125

c ≈ 55.90

Таким образом, длина гипотенузы, или стороны ВС в треугольнике АВС, составляет около 55.90.

Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, можно использовать диаграмму треугольника, чтобы визуализировать отношения между углами и сторонами.

Задача на проверку: В прямоугольном треугольнике, угол А = 45°, сторона АВ = 12. Найдите длину гипотенузы и длину другой катета.